不等式和绝对值不等式_章节学习

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题型：简答题

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简答题

【选修4--5；不等式选讲】

设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：

（Ⅰ）

（Ⅱ）．

正确答案

证明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：

a2+b2+c2≥ab+bc+ca，

由题设得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，

所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤．

（Ⅱ）因为+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，

故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即++≥a+b+c．

所以++≥1．

解析

证明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：

a2+b2+c2≥ab+bc+ca，

由题设得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，

所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤．

（Ⅱ）因为+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，

故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即++≥a+b+c．

所以++≥1．

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题型：简答题

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简答题

函数f（x）=．

（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；

（Ⅱ）设B={x|-1＜x＜2}，当实数a，b∈B∩（∁RA）时，求证：＜|1+|．

正确答案

解：（Ⅰ）a=5时，函数f（x）=，

∴|x+1|+|x+2|-5≥0；

即|x+1|+|x+2|≥5，

当x≥-1时，x+1+x+2≥5，∴x≥1；

当-1＞x＞-2时，-x-1+x+2≥5，∴x∈∅；

当x≤-2时，-x-1-x-2≥5，∴x≤-4；

综上，f（x）的定义域是A={x|x≤-4或x≥1}．

（Ⅱ）∵A={x|x≤-4或x≥1}，B={x|-1＜x＜2}，

∴∁RA=（-4，1），

∴B∩CRA=（-1，1）；

又∵，

而；

当a，b∈（-1，1）时，

（b2-4）（4-a2）＜0；

∴4（a+b）2＜（4+ab）2，

即．

解析

解：（Ⅰ）a=5时，函数f（x）=，

∴|x+1|+|x+2|-5≥0；

即|x+1|+|x+2|≥5，

当x≥-1时，x+1+x+2≥5，∴x≥1；

当-1＞x＞-2时，-x-1+x+2≥5，∴x∈∅；

当x≤-2时，-x-1-x-2≥5，∴x≤-4；

综上，f（x）的定义域是A={x|x≤-4或x≥1}．

（Ⅱ）∵A={x|x≤-4或x≥1}，B={x|-1＜x＜2}，

∴∁RA=（-4，1），

∴B∩CRA=（-1，1）；

又∵，

而；

当a，b∈（-1，1）时，

（b2-4）（4-a2）＜0；

∴4（a+b）2＜（4+ab）2，

即．

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题型：简答题

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简答题

（1）已知a＞1，求证：+＜2．

（2）求证：a2+b2≥ab+a+b-1．

正确答案

证明：（1）要证+＜2，

只需证（+）2＜（2）2，

只需证＜a，

只需证a2-1＜a2，

a2-1＜a2，显然成立；（6分）

（2）（a2+b2）-（ab+a+b-1）

=（2a2+2b2-2ab-2a-2b+2）

=[（a2-2ab+b2）+（a2-2a+1）+（b2-2b+1）]

=[（a-b）2+（a-1）2+（b-1）2]≥0，

∴a2+b2≥ab+a+b-1．（12分）

解析

证明：（1）要证+＜2，

只需证（+）2＜（2）2，

只需证＜a，

只需证a2-1＜a2，

a2-1＜a2，显然成立；（6分）

（2）（a2+b2）-（ab+a+b-1）

=（2a2+2b2-2ab-2a-2b+2）

=[（a2-2ab+b2）+（a2-2a+1）+（b2-2b+1）]

=[（a-b）2+（a-1）2+（b-1）2]≥0，

∴a2+b2≥ab+a+b-1．（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知适合不等式|x2-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值为3，求实数a的值，并解该不等式．

正确答案

解：已知适合不等式|x2-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值为3，即x≤3，所以|x-3|=3-x．

（1）若x2-4x+a＜0，则原不等式化为x2-3x+a+2≥0．

此不等式的解集不可能是集合{x|x≤3}的子集，所以x2-4x+a＜0不成立．

（2）若x2-4x+a≥0，则原不等式化为x2-5x+a-2≤0．因为x≤3，

令x2-5x+a-2=（x-3）（x-m）=x2-（m+3）x+3m，比较系数，得m=2，所以a=8．

此时，原不等式的解集为{x|2≤x≤3}

故答案为a=8，不等式解集为{x|2≤x≤3}．

解析

解：已知适合不等式|x2-4x+a|+|x-3|≤5的x的最大值为3，即x≤3，所以|x-3|=3-x．

（1）若x2-4x+a＜0，则原不等式化为x2-3x+a+2≥0．

此不等式的解集不可能是集合{x|x≤3}的子集，所以x2-4x+a＜0不成立．

（2）若x2-4x+a≥0，则原不等式化为x2-5x+a-2≤0．因为x≤3，

令x2-5x+a-2=（x-3）（x-m）=x2-（m+3）x+3m，比较系数，得m=2，所以a=8．

此时，原不等式的解集为{x|2≤x≤3}

故答案为a=8，不等式解集为{x|2≤x≤3}．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|，若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）对a＜b∈R，且a≠0恒成立，求x的范围？

正确答案

解：|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）对a＜b∈R，且a≠0恒成立，

即为f（x）≤对任意的a，b∈R，且a≠0恒成立，

而≥=2，

∴f（x）≤2即|x-1|+|x+1|≤2，

由于|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，

即有|x-1|+|x+1|=2，

解得-1≤x≤1，

所以x的范围为{x|-1≤x≤1}．

解析

解：|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）对a＜b∈R，且a≠0恒成立，

即为f（x）≤对任意的a，b∈R，且a≠0恒成立，

而≥=2，

∴f（x）≤2即|x-1|+|x+1|≤2，

由于|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，

即有|x-1|+|x+1|=2，

解得-1≤x≤1，

所以x的范围为{x|-1≤x≤1}．

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题型：单选题

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单选题

已知不等式|x-1|+|x-3|≥c的解集为R，a为c的最大值，则曲线y=x3在点（a，b）处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为（　　）

A

B18

C

D24+12

正确答案

A

解析

解：不等式|x-1|+|x-3|≥c的解集为R，而|x-1|+|x-3|表示数轴上的x对应点到1和3的距离之和，

其最小值为2，故有c≤2．

又a为c的最大值，则a=2．

由于曲线y=x3在点（a，b）处的切线斜率为3x2|x=2=12，把点（a，b）代入曲线y=x3可得b=8，

故曲线在点（2，8）处的切线方程为 y-8=12（x-2），即 12x-y-16=0，

求得切线和坐标轴的交点坐标为（0，-16）、（，0），

故切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 =，

故选A．

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题型：填空题

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填空题

若不等式|ax+2|＜6的解是（-1，2）；则实数a=______．

正确答案

-4

解析

解：∵|ax+2|＜6，∴-6＜ax+2＜6，-8＜ax＜4

①当a=0时，原不等式的解集为R，与题设不符（舍去），

②当a＞0时，有，

而已知原不等式的解集为（-1，2），所以有：

．此方程无解（舍去）．

③当a＜0时，有，

所以有

解得a=-4，

故答案为：-4．

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题型：填空题

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填空题

已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称函数f（x）为F-函数．给出下列函数：①f（x）=x2；②f（x）=；③f（x）=2x；④f（x）=sin2x．其中是F-函数的序号为______．

正确答案

②④

解析

解：对于①，|f（x）|＜m|x|，显然不成立，故其不是F-函数．

对于②f（x）=，|f（x）|==≤1×|x|，故函数f（x）为F-函数．

对于③f（x）=2x ，|f（x）|＜m|x|，显然不成立，故其不是F函数．

对于 ④f（x）=sin2x，由于|f（x）|=|sin2x|≤|2x|=2|x|，故函数f（x）为F-函数．

故答案为 ②④．

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题型：填空题

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填空题

若对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|＞|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，则实数x的取值范围______．

正确答案

（-∞，-3]∪[-1，+∞）

解析

解：已知对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，

即|x-1|-|2x+3|≤ 恒成立．

∵≥=1，所以只需|x-1|-|2x+3|≤1．

①当x≤-时，原式1-x+2x+3≤1，即x≤-3，所以x≤-3

②当-＜x＜1时，原式1-x-2x-3≤1，即x≥-1，所以-1≤x＜1

③当x≥1时，原式x-1-2x-3≤1，即x≥-5，所以x≥1．

综上，x的取值范围为（-∞，-3]∪[-1，+∞）．

故答案为（-∞，-3]∪[-1，+∞）．

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题型：简答题

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简答题

设全集U=R，集合A={x||2x-1|＜5}，B={x|}，求CUB、A∩B、A∪B、CU（A∪B），（CUA）∩（CUB）．

正确答案

解：由已知有：A={x|-5＜2x-1＜5}={x|-2＜x＜3}，CUA=（-∞，-2]∪[3，+∞）．

B={x|}==（-5，0）∪（0，5）．

∴CUB=（-∞，-5]∪{0}∪[5，+∞），A∩B=（-2，0）∪（0，3），A∪B=（-5，5），

CU（A∪B）=（ CUA）∩（CUB）=（-∞，-5]∪[5，+∞）．

解析

解：由已知有：A={x|-5＜2x-1＜5}={x|-2＜x＜3}，CUA=（-∞，-2]∪[3，+∞）．

B={x|}==（-5，0）∪（0，5）．

∴CUB=（-∞，-5]∪{0}∪[5，+∞），A∩B=（-2，0）∪（0，3），A∪B=（-5，5），

CU（A∪B）=（ CUA）∩（CUB）=（-∞，-5]∪[5，+∞）．

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题型：填空题

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填空题

若关于x的不等式|x+2|+|x-3|≤|a-1|存在实数解，则实数a的取值范围是．______．

正确答案

（-∞，-4]∪[6，+∞）

解析

解：令f（x）=|x+2|+|x-3|，

则令f（x）=|x+2|+|x-3|≥|x+2+3-x|=5，

依题意，不等式|x+2|+|x-3|≤|a-1|存在实数解⇔|a-1|≥f（x）存在实数解⇔|a-1|≥f（x）min=5，

∴a-1≥5或a-1≤-5，

∴a≥6或a≤-4．

∴实数a的取值范围是（-∞，-4]∪[6，+∞）．

故答案为：（-∞，-4]∪[6，+∞）．

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题型：简答题

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简答题

（2016春•玉溪校级月考）已知函数f（x）=|2x-1|，x∈R，

（1）解不等式f（x）＜x+1；

（2）若对于x，y∈R，有．求证：f（x）＜1．

正确答案

解：（1）不等式f（x）＜x+1，等价于|2x-1|＜x+1，即-x-1＜2x-1＜x+1，

求得0＜x＜2，故不等式f（x）＜x+1的解集为（0，2）．

（2）∵，

∴f（x）=|2x-1|=|2（x-y-1）+（2y+1）|≤|2（x-y-1）|+|（2y+1）|≤2•+＜1．

解析

解：（1）不等式f（x）＜x+1，等价于|2x-1|＜x+1，即-x-1＜2x-1＜x+1，

求得0＜x＜2，故不等式f（x）＜x+1的解集为（0，2）．

（2）∵，

∴f（x）=|2x-1|=|2（x-y-1）+（2y+1）|≤|2（x-y-1）|+|（2y+1）|≤2•+＜1．

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题型：单选题

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单选题

已知集合A={x∈Z||x-3|＜2}，B={0，1，2}，则集合A∩B为（　　）

A{2}

B{1，2}

C{1，2，3}

D{0，1，2，3}

正确答案

A

解析

解：∵集合A={x∈Z||x-3|＜2}={x|-2＜x-3＜2}={x|1＜x＜5}={2，3，4 }，

B={0，1，2}，

∴A∩B={2}．

故选A．

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题型：简答题

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简答题

（1）选修4-2：矩阵与变换

若二阶矩阵M满足．

（Ⅰ）求二阶矩阵M；

（Ⅱ）把矩阵M所对应的变换作用在曲线3x2+8xy+6y2=1上，求所得曲线的方程．

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为．

（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；

（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．

（3）选修4-5：不等式选讲

已知函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，实数a，b，c，n，p，q满足a2+b2+c2=n2+p2+q2=m．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）求证：．

正确答案

（1）解：（Ⅰ）记矩阵，故|A|=-2，故．…（2分）

由已知得．…（3分）

（Ⅱ）设二阶矩阵M所对应的变换为，得，

解得，…（5分）

又3x2+8xy+6y2=1，故有3（-x′+2y′）2+8（-x′+2y′）（x′-y′）+6（x′-y′）2=1，

化简得x′2+2y′2=1．故所得曲线的方程为x2+2y2=1．…（7分）

（2）解：（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：．…（1分）

①当t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆； …（2分）

②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…（3分）

（Ⅱ）直线l的普通方程为：x-y+4=0．…（4分）

联立直线与曲线的方程，消y得，化简得（1+t2）x2+8t2x+12t2=0．

若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t4-4（1+t2）•12t2＞0，解得t2＞3．…（5分）

又，…（6分）

故=2x1x2+4（x1+x2）+16=10．

解得t2=3与t2＞3相矛盾．故不存在满足题意的实数t．…（7分）

（3）解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，…（2分）

当且仅当2≤x≤4时，等号成立．

再由函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，可得m=2．…（3分）

（Ⅱ），…（5分）

即：（n2+p2+q2）2=4，

故．…（7分）

解析

（1）解：（Ⅰ）记矩阵，故|A|=-2，故．…（2分）

由已知得．…（3分）

（Ⅱ）设二阶矩阵M所对应的变换为，得，

解得，…（5分）

又3x2+8xy+6y2=1，故有3（-x′+2y′）2+8（-x′+2y′）（x′-y′）+6（x′-y′）2=1，

化简得x′2+2y′2=1．故所得曲线的方程为x2+2y2=1．…（7分）

（2）解：（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：．…（1分）

①当t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆； …（2分）

②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…（3分）

（Ⅱ）直线l的普通方程为：x-y+4=0．…（4分）

联立直线与曲线的方程，消y得，化简得（1+t2）x2+8t2x+12t2=0．

若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t4-4（1+t2）•12t2＞0，解得t2＞3．…（5分）

又，…（6分）

故=2x1x2+4（x1+x2）+16=10．

解得t2=3与t2＞3相矛盾．故不存在满足题意的实数t．…（7分）

（3）解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，…（2分）

当且仅当2≤x≤4时，等号成立．

再由函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，可得m=2．…（3分）

（Ⅱ），…（5分）

即：（n2+p2+q2）2=4，

故．…（7分）

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题型：简答题

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简答题

若不等式|2x-1|+|x-a|≥2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是多少？

正确答案

解：①当a=时，不等式即|x-|≥，显然不能任意实数x均成立．

②当a＞时，|2x-1|+|x-a|=，

此时，根据函数y=|2x-1|+|x-a|的单调性可得y的最小值为-3×+a+1．

∵不等式|2x-1|+|x-a|≥2对任意实数x均成立，

∴-3×+a+1≥2，解得 a≥．

③当a＜时，|2x-1|+|x-a|=，

此时，根据函数y=|2x-1|+|x-a|的单调性可得y的最小值为--a+1．

∵不等式|2x-1|+|x-a|≥2对任意实数x均成立，

∴--a+1≥2，解得 a≤-．

综上可得，实数a的取值范围是（-∞，-]∪[，+∞）．

解析

解：①当a=时，不等式即|x-|≥，显然不能任意实数x均成立．

②当a＞时，|2x-1|+|x-a|=，

此时，根据函数y=|2x-1|+|x-a|的单调性可得y的最小值为-3×+a+1．

∵不等式|2x-1|+|x-a|≥2对任意实数x均成立，

∴-3×+a+1≥2，解得 a≥．

③当a＜时，|2x-1|+|x-a|=，

此时，根据函数y=|2x-1|+|x-a|的单调性可得y的最小值为--a+1．

∵不等式|2x-1|+|x-a|≥2对任意实数x均成立，

∴--a+1≥2，解得 a≤-．

综上可得，实数a的取值范围是（-∞，-]∪[，+∞）．

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