热门试卷

证明：（1）∵a＞b，ab＞0，∴，化为，即＜；

（2）∵c＜d＜0，

∴-c＞-d＞0．

又∵a＞b＞0，

∴-ac＞-bd，

∴ac＜bd．

证明：∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2

∴3（a2+b2+c2）≥（a+b+c）2，

∴a2+b2+c2≥．

证明：要证-＜-，

只需证明：+＜+，

只需证明：＜，＜

显然成立，

所以a＞5，-＜-．

证明：∵≥，

∴要证lnx-x2≤-，

即证lnx-x2≤x-，

设f（x）=lnx-x2-x+，x＞0，

则f′（x）=-x-=，x＞0，

由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1，

∴x=1时，f（x）取得极大值，且为最大值f（1）=0，

即有f（x）=lnx-x2-x+≤0，

即为lnx-x2≤x-，

∴lnx-x2≤-．

证明：2a3-b3-2ab2+a2b=2a（a2-b2）+b（a2-b2）=（a-b）（a+b）（2a+b），

∵a≥b＞0，∴a-b≥0，a+b＞0，2a+b＞0，

从而：（a-b）（a+b）（2a+b）≥0，

∴2a3-b3≥2ab2-a2b．

（2））∵a＞0，b＞0，且a+b=10，

∴欲证+≤8

只需证（+）2≤64

只需证•≤16，

只需证（1+3a）•（1+3b）≤256

只需证ab≤25．

∵10=a+b≥2，

∴ab≤25，

∴+≤8．

证明：（1）由于（+）2=a+b+2，

（+）2=c+d+2，

由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，

则＞，

即有（+）2＞（+）2，

则+＞+；

（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，

即为a+b+2＞c+d+2，

由a+b=c+d，则ab＞cd，

于是（a-b）2=（a+b）2-4ab，

（c-d）2=（c+d）2-4cd，

即有（a-b）2＜（c-d）2，即为|a-b|＜|c-d|；

②若|a-b|＜|c-d|，则（a-b）2＜（c-d）2，

即有（a+b）2-4ab＜（c+d）2-4cd，

由a+b=c+d，则ab＞cd，

则有（+）2＞（+）2．

综上可得，+＞+是|a-b|＜|c-d|的充要条件．

证明：要证，

只要证，

即证（x+y）2≥4xy，

即证（x-y）2≥0，

而上式显然成立，

并在当且仅当x=y时取等号，

所以原不等式成立．

证明：sin2A+sin2B+sin2C=++

=-[cos2A+cos2B+cos（2A+2B）]

=-[2cos（A+B）cos（A-B）+2cos2（A+B）-1]

=2-[cos2C-cosCcos（A-B）]

=2-[cos2C-cosCcos（A-B）+cos2（A-B）-cos2（A-B）]

=2+cos2（A-B）-[cosC-cos（A-B）]2

≤2+cos2（A-B）=（A=B=C时取等号）．

证明：要证＞-，

只需证（）2＞（-）2，

即a-b＞a+b-2，

只需证b＜，即证b＜a，

显然b＜a成立，

因此＞-成立

证：（a5+b5）-（a2b3+a3b2）=（ a5-a3b2）+（b5-a2b3）

=a3（a2-b2）-b3（a2-b2）=（a2-b2）（a3-b3）

=（a+b）（a-b）2（a2+ab+b2）

∵a，b都是正数，∴a+b，a2+ab+b2＞0

又∵a≠b，∴（a-b）2＞0∴（a+b）（a-b）2（a2+ab+b2）＞0

即：a5+b5＞a2b3+a3b2．

证明：由x＜2，可得

x3-6x2+12x-1-7

=（x3-8）-（6x2-12x）

=（x-2）（x2+2x+4）-6x（x-2）

=（x-2）（x2-4x+4）=（x-2）3＜0，

则有x＜2时，x3-6x2+12x-1＜7．

证明：由于a+-（b+）=（a-b）+（-）

=（a-b）（1+）=（a-b）•，

因为a＞b＞0⇒ab＞0⇒ab+1＞0且a-b＞0，

所以（a-b）•＞0．

即a+-（b+）＞0．

所以a＞b＞0时，成立．

解：|ax-1|＞a+1⇔ax-1＞a+1或ax-1＜-a-1⇔ax＞a+2或ax＜-a．…（2分）

当-1＜a＜0时，x＜或x＞-1，

∴原不等式的解集为（-∞，）∪（-1，+∞）．…（5分）

当a=0时，原不等式的解集为φ．…（7分）

当a＞0时，x＞，或x＜-1，

∴原不等式的解集为（-∞，-1）∪（，+∞）．…（10分）

解：（1）当x＞0时，不等式x（x+）≤，

等价于 x2+x-≤0，

解得--≤x≤-+．

再根据 x＞0，可得不等式的解集为

{x|0＜x≤-+}．

（2）当x∈[t，t+]（0），

画出函数g（x）=|f（x）|的图象，

如图所示：显然函数g（x）在[t，]上是减函数，

在[，t+]上是增函数，

函数g（x）=|f（x）|在区间[t，t+]的最大值

为 max{g（t），g（t+）}．

（3）当x＞e时，函数f（x）=lnx-1，由题意可得 x2-（k+2e）x+e2+ke-lnx+1＞0恒成立．

即k＜=（x-e）- 恒成立．

令h（x）=（x-e）-，由于函数h（x）是（e，+∞）上的增函数，

且 ==，∴h（x）＞h（e）=0-，∴k≤-，即k的范围为（-∞，-]．