- 不等式和绝对值不等式
- 共3272题
设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）求函数f（x）的最小值．
正确答案
解：f（x）=
（1）①由
②
③
综上可知不等式的解集为{x|x＜﹣7或x＞
（2）如图可知f（x）min=﹣
已知函数f（x）=|x﹣a|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
正确答案
解：（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，解得a﹣3≤x≤a+3．
又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，
所以
解得a=2．
（2）当a=2时，f（x）=|x﹣2|．
设g（x）=f（x）+f（x+5），
于是
所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；
当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；
当x＞2时，g（x）＞5．
综上可得，g（x）的最小值为5．
从而，若f（x）+f（x+5）≥m
即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，5]．
（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（不等式选做题）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是______．
B．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是______．
C．（几何证明选做题）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=2
正确答案
A：当x＜-3时
不等式|x-5|+|x+3|≥10可化为：-（x-5）-（x+3）≥10
解得：x≤-4
当-3≤x≤5时
不等式|x-5|+|x+3|≥10可化为：-（x-5）+（x+3）=8≥10恒不成立
当x＞5时
不等式|x-5|+|x+3|≥10可化为：（x-5）+（x+3）≥10
解得：x≥6
故不等式|x-5|+|x+3|≥10解集为：（-∞，-4]∪[6，+∞）．
B：圆ρ=-2sinθ 即 ρ2=-2ρsinθ，即 x2+y2+2y=0，即x2+（y+1）2=1．
表示以（0，-1）为圆心，半径等于1的圆，故圆心的极坐标为（1，
C：由题意，DF=CF=2
由DF•FC=AF•BF，得2
∴AF=4，又BF=2，BE=1，
∴AE=7；
由切割线定理得CE2=BE•EA=1×7=7．
∴CE=
故答案为：（-∞，-4]∪[6，+∞）；（1，
已知适合不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值为3，求p的值．
正确答案
因为x的最大值为3，故x-3＜0，
原不等式等价于|x2-4x+p|-x+3≤5，（3分）
即-x-2≤x2-4x+p≤x+2，则 
设 x2-5x+p-2=0 的根分别为x1和x2，x1＜x2，x2-3x+p+2=0的根分别为x3和 x4，x3＜x4．
则x2=3，或 x4=3．
若x2=3，则9-15+p-2=0，p=8，若x4=3，则9-9+p+2=0，p=-2．
当p=-2时，原不等式无解，检验得：p=8 符合题意，故 p=8．（12分）
解不等式|x2﹣5x+5|＜1
正确答案
解：∵|x2﹣5x+5|＜1，
∴﹣1＜x2﹣5x+5＜1，
∴
∴1＜x＜2或3＜x＜4，
∴原不等式的解集为：{x|1＜x＜2或3＜x＜4}．
解不等式：
|2x-1|<|x|+1。
正确答案
解：当x＜0时，原不等式可化为-2x+1＜-x+1，解得x>0
又∵x＜0
∴x不存在；
当
又∵
∴
当
又∵
∴
综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}。
若不等式|ax+2|＜6的解是（-1，2）；则实数a=______．
正确答案
∵|ax+2|＜6，∴-6＜ax+2＜6，-8＜ax＜4
①当a=0时，原不等式的解集为R，与题设不符（舍去），
②当a＞0时，有 -
而已知原不等式的解集为（-1，2），所以有：
③当a＜0时，有 
所以有
解得a=-4，
故答案为：-4．
选做题
设函数f（x）=|x-a|+3x，其中a＞0。
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤-1}，求的值。
正确答案
解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x-1|≥2。
由此可得 x≥3或x≤-1。
故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}。
( Ⅱ) 由f（x）≤0 得 |x-a|+3x≤0
此不等式化为不等式组
即 
因为a＞0，所以不等式组的解集为
由题设可得
若不等式|x+1|+|x-2|≥a恒成立，则a的取值范围是______．
正确答案
因为|x+1|+|x-2|的几何意义是数轴上的点到-1，与到2的距离之和，显然最小值为3，
所以a的取值范围是：a≤3．
故答案为：a≤3．
解不等式2|x-1|+|x-2|＞4。
正确答案
解：原不等式等价于
（1）当x＞2时，2x-3＞2，即
（2）当1≤x≤2时，无解；
（3）当x＜1时，3-2x＞2，即
综上：不等式的解集为
解不等式|
正确答案
解：原不等式
因为
又
所以，原不等式组的解集为
不等式|x+3|-|x-1|≤a2-5a的解集非空，则实数a的取值范围是______．
正确答案
令f（x）=|x+3|-|x-1|，
则当x＜-3时，f（x）=-x-3+x-1=-4；
当-3≤x≤1时，f（x）=2x+2∈[-4，4]；
当x＞1时，f（x）=x+3-x+1=4；
∴f（x）min=-4．
∵不等式|x+3|-|x-1|≤a2-5a的解集非空，
∴a2-5a≥f（x）min=-4，
∴a2-5a+4≥0．
解得：a≥4或a≤1．
∴实数a的取值范围是a≥4或a≤1．
故答案为：a≥4或a≤1．
已知函数f(x)=|x-a|+|x+a|+|x-b|+|x+b|-c，若存在正常数m，使f(m)=0，则不等式f(x)＜f(m)的解集是（ ）。
正确答案
（-m，m）
如果关于x的不等式|x-3|+|x-a|＜4的解集不是空集，则参数a的取值范围是______．
正确答案
∵|x-3|+|x-a|≥|a-3|，又不等式|x-3|+|x-a|＜4的解集不是空集，
∴|a-3|＜4，解得-1＜a＜7，
则参数a的取值范围是-1＜a＜7．
故答案为：-1＜a＜7
已知关于x的不等式|x-2|-|x-5|-k＞0的解集为R，则实数k的范围是 ______．
正确答案
根据绝对值不等式可以得到：
||x-2|-|x-5||≤|（x-2）-（x-5）|=3，
即：-3≤|x-2|-|x-5|≤3，
所以要满足|x-2|-|x-5|＞k解集是R，只需要k＜-3，
故答案为k＜-3．
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