热门试卷

证明：（用综合法）

.

∵

∴

∴.         8分

本试题主要是考察了不等式的证明。利用综合法从条件分析，作差法得到通分合并来分析差与零的关系得到结论。

略

略

证明：，

 ………………5分

三个同向正值不等式相乘得 ………………10分

略

（1）证明：是正数，由重要不等式知，

故（当时等号成立）．

（2）若，不等式仍然成立．

证明：由（1）知，当时，不等式成立；当时，，

而

此时不等式仍然成立．

>

略

证明略

1：∵ a>0，b>0，

∴≥，

≥，

两式相加，得

≥，

∴≥．

解析2. ≥

．

∴≥．

解析3.∵a>0，b>0，∴，

∴欲证≥，

即证≥，

只要证 ≥，

只要证 ≥，

即证 ≥，

只要证a3+b3≥ab(a+b)，

只要证a2+b2-ab≥ab，

即证(a-b)2≥0．

∵ (a-b)2≥0成立，∴原不等式成立．

【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路．

“分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用．这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法．

略

略

见解析。

本试题主要是考查了不等式的证明。利用重要不等式来证明成立。先a+b+c="1" 左右两边分别平方得

a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1

然后可知a²+b²+c²≥1/3证明之。

证明：a+b+c="1" 左右两边分别平方得

a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1

得2ab+2bc+2ac=1-(a²+b²+c²)≤a²+b²+b²+c²+a²+c²

整理得3（a²+b²+c²)≥1

所以 a²+b²+c²≥1/3

当且仅当a="b=c=1/3" a²+b²+c²=1/3

略

采用分析法，两边平方去根号，然后移项再次平方，直至找到不等式成立的条件.

证明略。

证明：（Ⅰ）∵，，，

∴，           

∵，

∴，

∴.                                          

（Ⅱ）∵，                        

∴.          

证明略

证明：（1）正数a、b、c，、、亦为正数，所以由柯西不等式得

（++）（a+b+c）≥（++）="9 " -------3分

“=”成立当且仅当a="b=c          " -----------4分

即++≥                         ----------5分

（2）由（1）得

++≥ ==  (“=”成立当且仅当a="b=c)" ---7分

由均值不等式得≤=1a+b+c≤3     

(“=”成立当且仅当a="b=c)                   " -----------9分

0< 6+（a+b+c）≤9≥≥1

即++≥1 (“=”成立当且仅当a="b=c)" --------10分

证明略

(1)证法一:a2+b2+c2－=(3a2+3b2+3c2－1)

=［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］

=［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］

=［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0 ∴a2+b2+c2≥

证法二:∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2

∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2="1 " ∴a2+b2+c2≥

证法三: ∵∴a2+b2+c2≥

∴a2+b2+c2≥

证法四：设a=+α，b=+β，c=+γ.

∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0

∴a2+b2+c2=(+α)2+(+β)2+(+γ)2

=+ (α+β+γ)+α2+β2+γ2

=+α2+β2+γ2≥

∴a2+b2+c2≥

∴原不等式成立.

证法二：

∴≤＜6

∴原不等式成立.

证明略

∵上式显然成立，∴原不等式得证。