热门试卷

见解析

法一：因为a、b、c均为正数，由平均值不等式得

a2＋b2＋c2≥3(abc)，①

≥3(abc)－，②

所以2≥9(abc)－.

故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－.

又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6 ，③

所以原不等式成立．

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．

当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．

即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．

法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得

a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，

所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①

同理≥，②

故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③

所以原不等式成立，

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．

即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．

本试题主要是考查了比较大小的运用利用作差法可知得到

,提取公因式，然后分析符号与0的关系得到证明。

证明：……2分

……6分

又，而.……8分

∴.……10分

故……11分

即 ……12分

证明略

证明：因为，所以有。又，故有。

…………10分

于是有

得证。                                     …………20分

（1）函数的单调减区间为，单调增区间为，函数的最小值为；

（2）.

试题分析：（1）先将代入函数解析式，并将函数的解析式表示为分段函数，然后求出对应定义域上的单调区间，并求出相应的最小值；（2）利用（1）的结论证明，再利用放缩法得到，最后借助同向不等式具备相加性以及累加法得到

.

试题解析：（1） 

当时, 

在区间上是递增的 

当时, 

在区间上是递减的.

故时,的增区间为,减区间为, 

(2) 由(1)可知,当时,有即 

=.

证明略

证明 方法一 ∵+3

=

="(a+b+c)"

=［(a+b)+(a+c)+(b+c)］

≥ (·+·+·)2=.∴+≥.

方法二 令,则

∴左边=

≥=.

∴原不等式成立.

证明略

证法一:(分析综合法）

欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，

即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤或ab≥8.

∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立

∵1=a+b≥2，∴ab≤，从而得证.

证法二：(均值代换法)

设a=+t1，b=+t2.

∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜

显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立.

证法三:(比较法）

∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤

证法四：(综合法)

∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤.

证法五：(三角代换法）

∵a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，)

证明略

由x>0,y>0且x≠y,要证明

只需     即

只需

由条件,显然成立.∴原不等式成立

见解析。

本试题主要是考查了运用不等式的思想来证明不等式问题的运用。

首先可以考虑运用分析法和综合法两种办法来完成，分别对于已知的关系式分析结构特点，然后结合均值不等式的思想也可以，也能通过重要不等式来证明。

（证法一）

∵

…………………………①

，

∴……………………②

……………………③

∴原不等式成立。

当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当时，③式等号成立。

即当a=b=c＝时原式等号成立。

（证法二）∵a,b,c都是正数，由基本不等式得

∴………………………………①

②

∴

…………………………………………③

∴原不等式成立

当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c,时，③式等号成立。

即当a=b=c＝时原式等号成立。

略

证：由对称性，不妨设，则，，得，由排序不等式，得顺序和乱序和，则　即又　　又由乱序和逆序和，则，即，所以

见解析

试题分析：本题用直接法不易找到证明思路，用分析法，要证该不等式成立，因为，所以，只需证该不等式两边同乘以转化成的等价不等式a(1+b)(1+c)+ b(1+a)(1+c)> c(1+a)(1+b)成立，用不等式性质整理为a+2ab+b+abc>c成立，用不等式性质及三角不等式很容易证明此不等式成立.

试题解析：要证明：

需证明： a(1+b)(1+c)+ b(1+a)(1+c)> c(1+a)(1+b)          5分

需证明:a(1+b+c+bc)+ b(1+a+c+ac)> c(1+a+b+ab)  需证明a+2ab+b+abc>c       10分

∵a,b,c是的三边  ∴a>0,b>0,c>0且a+b>c,abc>0,2ab>0

∴a+2ab+b+abc>c

∴成立。         14分

由得，          

又正实数，满足，

即，（当且仅当时取“=”）               

所以，即证．

略

证明略

证明 （1）∵a,b,c都是正数，

∴a+b+c≥3,++≥3.

∴(a+b+c) ≥9,

当且仅当a=b=c时，等号成立.

（2）∵（a+b）+(b+c)+(c+a)

≥3,

又≥,

∴(a+b+c) ≥,

当且仅当a=b=c时，等号成立.

证明略

∵＜1＜1

a2+b2+2ab＜1+2ab+a2b2

a2b2-a2-b2+1＞0

 (a2-1)(b2-1)＞0

又|a|＜1,|b|＜1,∴(a2-1)(b2-1)＞0.

∴原不等式成立.

证明见解析.

试题分析：不等式是对称式，特别是本题中不等式成立的条件是，因此我们可以用基本不等式，注意对称式的应用，如，对应的有，，这样可得①，同样方法可得，因此有②，①②相加，再应用基本不等式就可证明本题不等式了.

因为a，b，c均为正数，

由均值不等式得a2＋b2≥2ab，   b2＋c2≥2bc，    c2＋a2≥2ac．

所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac．同理，

故a2＋b2＋c2＋≥ab＋bc＋ac＋≥6．

所以原不等式成立．                              10分