热门试卷

见解析。

本试题主要是考察了不等式的证明，可以运用分析法证明，也可以利用综合法来证明。或者同时运用这两种方法来证明。

分析法是寻找结论成立的充分条件，是执果索因，而综合法是从条件推导得到结论，是由因到果，两者是不同的证明题型的运用。

证明：（法一）要证原不等式成立，只须证：

即只须证：

由柯西不等式易知上式显然成立，所以原不等式成立。

（法二）由对称性，不妨设：,则，

所以：（顺序和）（乱序和）

（顺序和）（乱序和）

将以上两式相加即得：.

（3）证明：左边=           ………………2分

   …………6分

.                        ………………7分

证明过程略

(1)对于1＜i≤m，且A =m·…·(m－i+1)，

，

由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有，

所以

(2)由二项式定理有：

(1+m)n=1+Cm+Cm2+…+Cmn，

(1+n)m=1+Cn+Cn2+…+Cnm，

由(1)知miA＞niA (1＜i≤m，而C=

∴miCin＞niCim(1＜m＜n

∴m0C=n0C=1，mC=nC=m·n，m2C＞n2C，…，

mmC＞nmC，mm+1C＞0，…，mnC＞0，

∴1+Cm+Cm2+…+Cmn＞1+Cn+C2mn2+…+Cnm，

即(1+m)n＞(1+n)m成立。

见解析

证明：由a,b,c为正数,得lg≥lg;lg≥lg;lg≥lg.

而a,b,c不全相等,

所以lg+lg+lg>lg+lg+lg="lg" (abc)=lga+lgb+lgc.

即lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.

证明略

左边-右边=

=

=  = ∴原不等式成立。

证法二:左边>0，右边>0。

∴原不等式成立。

略

（方法一）证明：

因为实数a、b≥0，

所以上式≥0。即有。

（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得

当时，，从而，得；

当时，，从而，得；

所以。

（1）证明略（2）x2+y2+z2的最小值为

（1）证明 因为（++）2

≤(12+12+12)(3x+1+3y+2+3z+3)=27.

所以++≤3.                                     7分

(2)解 因为(12+22+32)(x2+y2+z2)

≥(x+2y+3z)2=36,

即14(x2+y2+z2)≥36,

所以x2+y2+z2的最小值为.                               14分

证明略

证明  ++…+=(x1+x2+…+xn)（ ++…+）

≥=n2.

略

证明：(Ⅰ)∵

，

又∵，∴，∴，

∴.                                             …………（5分）

法二：∵，又∵，∴，

∴，展开得，

移项，整理得.                                  …………（5分）

（II） ∵，由（I）知：

；；；

将上述三式相加得：，

∴                           …………（10分）

见解析

证明：∵-=,

又>且a,b均为正数,

∴b>a>0.又x>y>0,

∴bx>ay.∴>0,

即>.

略

即和同时成立.

，，且        ---------------6分

两式相加得，

，这与已知条件矛盾，        ---------------10分

因此或中至少有一个成立.        ---------------12分

略

略

证明见解析

由 a、b∈（0，+∞），

得≤ab≤≥4.

（当且仅当a=b=时取等号）

(1)∵a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×=，

∴a2+b2≥.

(2)∵+≥≥8,∴+≥8.

(3)由(1)、(2)的结论，知

+ =a2+b2+4++

≥+4+8=,∴+ ≥.

(4) =++ab+

=+++2≥2++2=.

应用分析法

试题分析：要使原不等式成立，只要：

只要，

只要，

只要，

只要，

由已知此不等式成立。

点评：中档题，绝对值不等式的证明问题，往往利用“分析法”，通过平方去掉“||”，加以转化。