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题型：简答题

简答题

在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*，

（Ⅰ）证明数列{an-n}是等比数列；

（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn；

（Ⅲ）证明不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．

（Ⅰ）证明：由题设，

得，n∈N*，

又，

所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，

于是数列{an}的通项公式为，

所以数列{an}的前n项和；

（Ⅲ）证明：对任意的n∈N*，

，

所以不等式，对任意n∈N*皆成立．

题型：简答题

简答题

已知数列{an}中，a1=t，a2=t2（t＞0），且an+1=（t+1）an-tan-1（n≥2），

（1）若t≠1，求证：数列{an+1-an}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）若＜t＜2，bn=（n∈N*），试比较与的大小。

解：（1）由已知得，当t≠1时，，

∴，

又，

∴是首项为，公比为t的等比数列；

（2）由（1）得，当t≠1时，

，

∴，

将上列各等式相加得，

∴，

当t=1时，，

∴，

综上可知，。

（3）由，

，

又，

∴，

∴

。

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