不等式和绝对值不等式_章节学习

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题型：填空题

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填空题

设集合A={x||x-a|＜2}，B={x|＜1}，且A⊆B，则实数a的取值范围是______．

正确答案

集合A={x||x-a|＜2}={x|-2＜x-a＜2}={x|a-2＜x＜a+2}，

B={x|＜1}={x|＜0}={x|（x-3）（x+2）＜0}={x|-2＜x＜3}．

∵A⊆B，

∴，解得 0≤a≤1．

故答案为[0，1]．

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题型：填空题

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填空题

已知全集U=R，且A={x||x-1|＞2}，B={x|x2-6x+8＜0}，则（∁UA）∩B等于______．

正确答案

A={x|x＞3或x＜-1}，CUA={x|-1≤x≤3}

B={x|2＜x＜4}，

∴CUA）∩B=（2，3]，

故答案为（2，3]．

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题型：简答题

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简答题

设A={x∈R||2x-x2|≤x}，B={x∈R|||≤}，C={x∈R|ax2+x+b＜0}，若（A∪B）∩C=Φ，（A∪B）∪C=R，求a，b的值．

正确答案

|2x-x2|≤x，当x=0时显然成立；

x≠0化简得或，

解得1≤x＜2或2≤x≤3，

所以A={x|1≤x≤3}∪{0}；

根据||≤，得到≥0，

解得x≥0且1-x＞0或x≤0且1-x＜0，

解得0≤x＜1或无解，则B={x|0≤x＜1}，

则A∪B={x|0≤x≤3}

∵（A∪B）∩C=Φ，（A∪B）∪C=R，

∴C={x|x＜0或x＞3}

∴0，3是方程ax2+x+b=0的两根，

由韦达定理：解得a=-，b=0．

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题型：填空题

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填空题

集合A={x∈R|x2-x-6＜0}，B={x∈R||x-2|＜2}，则A∩B=______．

正确答案

集合A={x∈R|x2-x-6＜0}，可得 A={x|-2＜x＜3}

B={x∈R||x-2|＜2}，可得 B={x|0＜x＜4}

所以A∩B={x|-2＜x＜3}∩{x|0＜x＜4}=x|0＜x＜3

故答案为：x|0＜x＜3．

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题型：简答题

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简答题

设全集U=R，集合A={x||2x-1|＜5}，B={x|＞0}，求CUB、A∩B、A∪B、CU（A∪B），（CUA）∩（CUB）．

正确答案

由已知有：A={x|-5＜2x-1＜5}={x|-2＜x＜3}，CUA=（-∞，-2]∪[3，+∞）．

B={x|＞0}={x| }=（-5，0）∪（0，5）．

∴CUB=（-∞，-5]∪{0}∪[5，+∞），A∩B=（-2，0）∪（0，3），A∪B=（-5，5），

CU（A∪B）=（ CUA）∩（CUB）=（-∞，-5]∪[5，+∞）．

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题型：简答题

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简答题

已知A={x||x-2|＞1}，B={x|≤0}，求A∩B、（∁UA）∪B．

正确答案

∵A={x||x-2|＞1}={x|x＞3或x＜1}，

B={x|≤0}={x|-1＜x≤4}，

∴A∩B={x|-1＜x＜1或3＜x≤4}

（∁UA）∪B={x|1≤x≤3}∪{x|-1＜x≤4}={x|-1＜x≤4}．

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题型：简答题

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简答题

集合A={x||x-m|＞3}，B={x||x-1|＜2}．

（1）若A∩B=∅，求m的范围；

（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的范围．

正确答案

（1）∵解不等式|x-m|＞3得x＜m-3或x＞m+3，解不等式|x-1|＜2得-1＜x＜3，

∴集合A={x||x-m|＞3}=（-∞，m-3）∪（m+3，+∞）

集合B={x||x-1|＜2}=（-1，3）

∵A∩B=∅，∴m-3≤-1且m+3≥3，解之得0≤m≤2

即实数m的范围为[0，2]；

（2）∵“p或q”为真，“p且q”为假，

∴p与q中一个是真命题，另一个是假命题

即“x∈A且x∉B”成立，或“x∉A且x∈B”成立

因此可得A∩B=∅，

由（1）的计算可得实数m的范围为[0，2]．

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题型：填空题

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填空题

已知全集U=R，集合A={x|x2-2x-3≤0，x∈R}，B={x||x-2|＜2，x∈R}，那么集合A∩B=______．

正确答案

∵全集U=R，

集合A={x|x2-2x-3≤0，x∈R}={x|-1≤x≤3}，

B={x||x-2|＜2，x∈R}={x|0＜x＜4}，

∴集合A∩B={x|0＜x≤3}．

故答案为：{x|0＜x≤3}．

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题型：填空题

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填空题

已知集合M={x||x-1|≤2，x∈R}，P={x|≥1，x∈Z}则M∩P=______．

正确答案

若|x-1|≤2

则-1≤x≤3

即M=[-1，3]

若≥1，x∈Z

则x∈{0，1，2，3，4}

即P={0，1，2，3，4}

∴M∩P={0，1，2，3}

故答案：{0，1，2，3}

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题型：填空题

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填空题

已知集合A={x∈R||x-1|＞2}，集合B={x∈R|x2-（a+1）x+a＜0}，若A∩B=（3，5）则实数a=______．

正确答案

∵集合A={x∈R||x-1|＞2}={x|x＞3，或 x＜-1}，

集合B={x∈R|x2-（a+1）x+a＜0}={x|（x-1）（x-a）＜0}，

当a=1时，B=∅，不满足条件．

当a＞1时，B=（1，a），由A∩B=（3，5）可得a=5．

当a＜1时，B=（a，1 ），不满足A∩B=（3，5）．

综上可得，只有a=5，

故答案为 5．

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题型：简答题

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简答题

已知命题p：lg（x2-2x-2）≥0，命题q：|1-|＜1．若p是真命题，q是假命题，求实数x的取值范围．

正确答案

若p真，由lg（x2-2x-2）≥0，得x2-2x-2≥1，

∴x≥3或x≤-1；

若q真，由|1-|＜1，得-1＜1-＜1，

∴0＜x＜4．

∵命题q为假，

∴x≤0或x≥4．

则{x|x≥3或x≤-1}∩{x|x≤0或x≥4}

={x|x≤-1或x≥4}、

∴满足条件的实数x的取值范围为（-∞，-1]∪[4，+∞）

故实数x的取值范围（-∞，-1]∪[4，+∞）

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题型：简答题

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简答题

已知命题p：关于x的方程2x=有负根；命题q：不等式|x+1|+|2x-1|＜a的解集为φ．且“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．

正确答案

命题p⇔0＜＜1⇔-3＜a＜1；

命题q⇔a≤

且由题意知：p与q一真一假，

当p为真命题，q为假命题时，

-3＜a＜1且a＞，

此时a∈∅

当p为假命题，q为真命题时，

a≤-3，或x≥1且a≤，

此时a≤-3或1≤a≤

故满足条件的a的取值范围为：a≤-3或1≤a≤

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题型：填空题

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填空题

①命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”；

②若P且Q为假命题，则P、Q均为假命题；

③在△ABC中，sinA＞sinB的充要条件是A＞B；

④不等式的解集为|x|+|x-1|＞a的解集为R，则a≤1；

⑤点（x，y）在映射f作用下的象是（2x，lo），则在f的作用下，点（1，-1）的原象是（0，2）．

其中真命题的是______（写出所有真命题的编号）

正确答案

命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”，故①正确．

若P且Q为假命题，则P、Q至少有一个是假命题，故②错误；

在△ABC中，sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，故③正确；

不等式的解集为|x|+|x-1|＞a的解集为R，则a＜1，故④错误；

点（x，y）在映射f作用下的象是（2x，lo），则在f的作用下，点（1，-1）的原象是（0，2），故⑤正确．

故答案为：①③⑤

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题型：简答题

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简答题

设p：|x+2|≤3，q：x＜-8，则p是¬q什么条件？

正确答案

|x+2|≤3⇔-3≤x+2≤3⇔-5≤x≤1

∴p：A={x|-5≤x≤1}，

∵q：x＜-8

¬q：B={ x|x≥-8}，

∵A是B的真子集．

∴p是¬q的充分不必要条件

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题型：简答题

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简答题

Y已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．

正确答案

解法一：由p：|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，

∴“非p”：A={x|x＞10或x＜﹣2}

由q：x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）

∴“非q”：B={x|x＞1+m或x＜1﹣m，m＞0

由“非p”是“非q”的必要而不充分条件可知：BA.解得m≥9．

∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．

解法二：由“非p”是“非q”的必要而不充分条件．

即“非q”“非p”，但“非p”“非q”，

可以等价转换为它的逆否命题：“pq，但qp”．

即p是q的充分而不必要条件．由|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，

∴p={x|﹣2≤x≤10}由x2﹣2x+1﹣m2＞0，

解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴q={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}

由p是q的充分而不必要条件可知：pq解得m≥9．

∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．

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