热门试卷

（1）2x＞|x-2|⇔-2x＜x-2＜2x，得解集为(，+∞)…（4分）

（2）F（x）=ax-|x-a|，

当a=0时，F（x）=-|x|，F（-x）=-|-x|=-|x|，

所以F（x）=F（-x），F（x）为偶函数；…（6分）

当a≠0，F（a）=a2，F（-a）=-a2-2|a|

∴F（a）+F（-a）=-2|a|≠0

  F（a）-F（-a）=2a2+2|a|≠0

所以，F（x）为非奇非偶函数．  …（10分）

（3）G(x)=ax|x-a|=，…（12分）

①当a=0时，G（x）=0是常数函数，不合题意．

当a＞0时，G（x）在[a，+∞）和(-∞，]上递增，所以a∈（0，1]．…（15分）

②当a＜0时，G（x）在[a，]上递增，在[，+∞)和（-∞，a]上递减，不合题意．

综上所述，实数a的取值范围是（0，1]…（18分）

（Ⅰ）f（x）=|x-a|≤3，即a-3≤x≤a+3．

依题意，

由此得a的取值范围是[0，2]．…（4分）

（Ⅱ）f（x-a）+f（x+a）=|x-2a|+|x|≥|（x-2a）-x|=2|a|．…（6分）

当且仅当（x-2a）x≤0时取等号．

解不等式2|a|≥1-2a，得a≥．

故a的最小值为．…（10分）

（1）∵函数f（x）=|2x+1|-|x-2|=，

∴fmin（x）=f（-）=-．

由题意可得a≥-，故实数a的取值范围为[-，+∞）．

（2）∵∀x∈R，f（x）≥-t2-t-1恒成立，

∴-≥-t2-t-1，解得 t≥，或 t≤-3．

故实数t的取值范围为[，+∞）∪（-∞，-3]．

（1）不等式即|x-1|+|x+2|≥5，由于|x-1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到-2和1对应点的距离之和，

而-3和2对应点到-2和1对应点的距离之和正好等于5，故不等式的解集为（-∞，-3]∪[2，+∞）．

（2）若关于x的不等式f（x）＞a2-2a对于任意的x∈R恒成立，故f（x）的最小值大于a2-2a．

而由绝对值的意义可得f（x）的最小值为3，

∴3＞a2-2a，解得-1＜a＜3，

故所求的a的取值范围为（-1，3）．

解：（1）因对定义域内的任意x1，x2都有 f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），

令x1=x，x2=-1，则有 f（-x）=f（x）+f（-1）

又令x1=x2=-1，得2f（-1）=f（1）

再令x1=x2=1，得f（1）=0，从而f（-1）=0，

于是有f（-x）=f（x）

∴f（x）是偶函数；

 （2）设012，则f（x1）-f（x2）=f（x1）-

由于012∴

从而

故f（x1）-f（x2）<0，即f（x1）2）

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；

（3）由于f（2）=1，

所以2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），

于是待解不等式可化为f（2x2-1）

结合（1），（2）已证结论，得上式等价于|2x2-1|<4

解得。

（1）因为|x-4|+|x-a|≥|x-4-（x-a）|=|a-4|，…（3分）

所以|a-4|=3，即 a=7，或 a=1．    …（5分）

由a＞1知 a=7．…（6分）

（2）当x≤4时，不等式化为-2x+11≤5解得：3≤x≤4．…（7分）

当4＜x＜7时，不等式化为  3≤5，恒成立，所以：4＜x＜7．…（8分）

当x≥7时，不等式化为  2x-11≤5，解得：7≤x≤8．…（9分）

综上，不等式f（x）≤5 的解集为 {x|3≤x≤8}．     …（10分）

（1）∵f（x）=|x-2|，

∴f（x）-1＜0⇔|x-2|＜1，

∴1＜x＜3．

∴不等式f（x）-1＜0的解集为{x|1＜x＜3}；

（2）∵f（x）=|x-2|，g（x）=-|x+3|+m，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，

∴g（x）max＜f（-3），即m＜f（-3）=5．

∴m的取值范围为：m＜5．

（Ⅰ）∵f（x）=-4x+b，∴|f（x）|＜k可化为|-4x+b|＜k，∴＜x＜，

又|f（x）|＜k的解集为{x|-1＜x＜2}，∴解得（6分）

证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-4x+2，∴φ(x)===，

在φ（x）图象上任取一点N（x°，y°），∴y°=．

设N（x°，y°）关于P(，-1)的对称点为N′，则N′（1-x°，-2-y°）．

∵φ(1-x°)==，

又-2-y°=-2-===φ(1-x°)，+=4

∴N′（1-x°，-2-y°）在函数φ（x）图象上，

∴函数φ(x)=的图象关于点P(，-1)对称．（13分）

（1）不等式f（x）+g（x）＞1，即|x+a|＞|x-3|，

两边平方得：2（a+3）x＞（3+a）（3-a）

∴当a=-3时，解集为∅

当a＞-3时，解集为(，+∞)；

当a＜-3时，解集为(-∞，)

（2）若对任意x∈R，f（x）＞g（x）恒成立，则|x+a|＞-|x-3|+1对任意实数x恒成立，即|x+a|+|x-3|＞1恒成立，

∵|x+a|+|x-3|≥|a+3|

∴|a+3|＞1，解得a＞-2或a＜-4

（I）当a=2时，求不等式f（x）≥0 即|x-1|+|2x-3|≥2，

∴①，或②，或 ③．

解①得 x≤，解②得x∈∅，解③得x≥3，

故不等式的解集为{x|x≤，或x≥3}．

（II ）若f（x）≥O恒成立，则f（x）的最小值大于或等于零．

由于函数 f（x）=，显然函数在（-∞，]上是减函数，

故函数的最小值为 f（）=-a≥0，解得 a≤，

故a的取值范围为（-∞，]．

（本小题满分12分）

（1）设点Q的坐标为（x'，y'），则x'=x-2a，y'=-y，即x=x'+2a，y=-y'．

∵点P（x，y）在函数y=loga（x-3a）图象上

∴-y'=loga（x'+2a-3a），即y′=loga

∴g(x)=loga

（2）由题意x∈[a+2，a+3]，则x-3a=（a+2）-3a=-2a+2＞0，=＞0．

又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，|f(x)-g(x)|=|loga(x-3a)-loga|=|loga(x2-4ax+3a2)|

∵|f（x）-g（x）|≤1∴-1≤loga(x2-4ax+3a2)≤1，r（x）=x2-4ax+3a2对称轴为x=2a

∵0＜a＜1∴a+2＞2a，则r（x）=x2-4ax+3a2在[a+2，a+3]上为增函数，

∴函数u(x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2，a+3]上为减函数，

从而[u（x）]max=u（a+2）=loga（4-4a）．

[u（x）]min=u（a+3）=loga（9-6a），

又0＜a＜1，则

∴0＜a≤

（3）由（1）知g(x)=loga，而把y=g（x）的图象向左平移a个单位得到y=h（x）的图象，则h(x)=loga=-logax，

∴F(x)=2a1-h(x)-a2-2h(x)+a-h(x)=2a1+logax-a2+2logax+alogax=2ax-a2x2+x，

即F（x）=-a2x2+（2a+1）x，又a＞0，且a≠1，F（x）的对称轴为x=，又在[，4]的最大值为，

①令＜⇒a2-4a-2＞0⇒a＜2-(舍去)或a＞2+；此时F（x）在[，4]上递减，∴F（x）的最大值为F()=⇒-a2+(2a+1)=⇒a2-8a+16=0⇒a=4∉(2+，+∞)，此时无解；

②令＞4⇒8a2-2a-1＜0⇒-＜a＜，又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜；此时F（x）在[，4]上递增，∴F（x）的最大值为F(4)=⇒-16a2+8a+4=⇒a=，又0＜a＜，∴无解；

③令≤≤4⇒⇒且a＞0，且a≠1

∴≤a≤2+且a≠1，此时F（x）的最大值为F()=⇒-a2+=⇒=⇒a2-4a-1=0，

解得：a=2±，又≤a≤2+且a≠1，∴a=2+；

综上，a的值为2+．

（I）由|t+1|-|t-3|＞2得，

（1）当t＜-1，时

可得-4＞2，t∈∅；

（2）当-1≤t≤3时，

2t-2＞2，解得{t|2＜t≤3}；

（3）当t＞3时，4＞2恒成立，

∴t＞2；

∴f（t）＞2的解集为{t|t＞2}；

（II）∵a＞0，g（x）=ax2-2x+5，g（x）≥f（t）恒成立，

可转化为gmin（x）≥fmax（t）

g（x）=a（x-）2+

f（t）=|t-1|-|t-3|≤|t+1-t+3|=4，

∴解得a≥1；