- 数列前n项和
- 共2492题
已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=an+log
正确答案
解：（I）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q
∵a3+2是a2，a4的等差中项
∴2（a3+2）=a2+a4
代入a2+a3+a4=28，得a3=8
∴a2+a4=20
解得
∵数列{an}单调递增
∴an=2n
（II）∵an=2n，
∴bn=an+log
∴Sn=
解析
解：（I）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q
∵a3+2是a2，a4的等差中项
∴2（a3+2）=a2+a4
代入a2+a3+a4=28，得a3=8
∴a2+a4=20
解得
∵数列{an}单调递增
∴an=2n
（II）∵an=2n，
∴bn=an+log
∴Sn=
在等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，Sn表示其前n项和．若
正确答案
11
解析
解：若q=1，则
与题设矛盾，此情况不存在；
若q≠1，则
故有1+q3=9，解得q=2．
所以an=a•2n-1，可知log2an=n-1+log2a．
所以数列{log2an}是以log2a为首项，1为公差的等差数列．
令log2an≤0，即n-1+log2a≤0⇔n≤1-log2a．
因为
所以log2a∈[-log22010，-log21949]，
即得1-log2a∈[1+log21949，1+log22010]，
可知满足log2an≤0的最大的n值为11．
所以，数列{log2an}的前11项均为负值，
从第12项开始都是正数．因此，当n=11时，Tn有最小值．
故答案为：11．
有限数列A=（a1，a2，…，an），Sn为其前n项和，定义
正确答案
解析
解：∵
其中S1=a1，S2=a1+a2，…S2007=a1+a2+a3+…a2007．
∴所求的优化和=[1+（1+a1）+（1+a1+a2）+…+（1+a1+…+a2006）+（1+a1+…+a2007）]÷2008
=[1+（ 1+S1）+（1+S2）+…+（1+S2006）+（1+S2007）]÷2008
=[2008×1+（S1+S2+…+S2007）]÷2008
=[2008+2007×2008]÷2008
=1+2007
=2008
故选B．
数列{an}的通项为an=（-1）n•n•sin
正确答案
解析
解：当n=2k时（k∈N*），a2k=（2k）•sinkπ+1=1．
当n=4k-3时（k∈N*），a4k-3=-（4k-3）+1=-n+1．
当n=4k-1时（k∈N*），a4k-1=（4k-1）+1=n+1．
∴S100=（a2+a4+…+a100）+（a1+a5+…+a97）+（a3+a7+…+a99）
=50+（-1-5-…-97+25）+（3+7+…+99+25）
=150．
故选：D．
已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，对任意的正整数n都有an•an+1≠1，an•an+1•an+2=an+an+1+an+2，则a1+a2+a3+…+a2006=______．
正确答案
4011
解析
解：依题意可知，anan+1an+2=an+an+1+an+2，an+1an+2an+3=an+1+an+2+an+3，两式相减得an+1an+2（an+3-an）=an+3-an，
∵an+1an+2≠1，
∴an+3-an=0，即an+3=an，
∴数列{an}是以3为周期的数列，
∵a1a2a3=a1+a2+a3，∴a3=3
∴S2006=668×（1+2+3）+1+2=4011
故答案为：4011．
设公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=8，S2=48．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=4log2an（n∈N*），试求数列{bn}前n项和Tn的最大值．
正确答案
解：（Ⅰ）设{an}的公比为q（q＞0），则有
则a1=
（Ⅱ）bn=4log2an=4log226-n=24-4n，
bn+1-bn=-4=常数，
∴数列{bn}为等差数列，首项为20，公差为-4，
所以当n=5或n=6时数列{bn}前n项和Tn的最大值为60．
解析
解：（Ⅰ）设{an}的公比为q（q＞0），则有
则a1=
（Ⅱ）bn=4log2an=4log226-n=24-4n，
bn+1-bn=-4=常数，
∴数列{bn}为等差数列，首项为20，公差为-4，
所以当n=5或n=6时数列{bn}前n项和Tn的最大值为60．
已知数列{an}是递增数列，且满足a3•a5=16，a2+a6=10．
（1）若{an}是等差数列，求数列{an}的通项公式；
（2）对于（1）中{an}，令
正确答案
解：（1）根据题意：a2+a6=10=a3+a5，又a3•a5=16，
所以a3，a5是方程x2-10x+16=0的两根，且a3＜a5，
解得a5=8，a3=2，所以d=3，
∴an=3n-7．…（4分）
（2）
Tn=1×21+2×22+3×23+…+（n-1）•2n-1+n•2n，①
2Tn=1×22+2×23+…+（n-2）•2n-1+（n-1）•2n+n•2n+1，②
①-②得
所以Tn=n•2n+1-2n+1+2=（n-1）•2n+1+2．…（12分）
解析
解：（1）根据题意：a2+a6=10=a3+a5，又a3•a5=16，
所以a3，a5是方程x2-10x+16=0的两根，且a3＜a5，
解得a5=8，a3=2，所以d=3，
∴an=3n-7．…（4分）
（2）
Tn=1×21+2×22+3×23+…+（n-1）•2n-1+n•2n，①
2Tn=1×22+2×23+…+（n-2）•2n-1+（n-1）•2n+n•2n+1，②
①-②得
所以Tn=n•2n+1-2n+1+2=（n-1）•2n+1+2．…（12分）
已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=-10，且a2，a4，a5成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a＞0，求数列
正确答案
解（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0）
因为a1=-10，a2，a4，a5成等比数列所以（a1+3d）2=（a1+d）（a1+4d）
即（-10+3d）2=（-10+d）（-10+4d）解得d=2或d=0（舍）
所以 an=-10+（n-1）×2=2n-12
（2）知，an=2n-12，所以
当a=1时，数列
当a≠1时，令
所以
故{bn}为等比数列，所以{bn}的前n项和
因此，数列
解析
解（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0）
因为a1=-10，a2，a4，a5成等比数列所以（a1+3d）2=（a1+d）（a1+4d）
即（-10+3d）2=（-10+d）（-10+4d）解得d=2或d=0（舍）
所以 an=-10+（n-1）×2=2n-12
（2）知，an=2n-12，所以
当a=1时，数列
当a≠1时，令
所以
故{bn}为等比数列，所以{bn}的前n项和
因此，数列
设数列{an}满足（6n-3）an=（2n+1）an-1+4n2-2n+1（n≥2），a1=2，设bn=
（1）求证：{bn}是等比数列；
（2）设{an}的前n项和Sn，求
正确答案
（1）证明：（6n-3）an=（2n+1）an-1+4n2-2n+1（n≥2），
可得an=
an-n=
即有
则bn=
故{bn}是首项为
（2）解：bn=
则an=n+（2n+1）•（
{an}的前n项和Sn=
Tn=3
两式相减可得
=1+2•
化简可得Tn=2-
即有Sn=
则
=
由
当且仅当
由于n为正整数，当n=6时，
当n=7时，
则有n=7时，取得最小值，且为
解析
（1）证明：（6n-3）an=（2n+1）an-1+4n2-2n+1（n≥2），
可得an=
an-n=
即有
则bn=
故{bn}是首项为
（2）解：bn=
则an=n+（2n+1）•（
{an}的前n项和Sn=
Tn=3
两式相减可得
=1+2•
化简可得Tn=2-
即有Sn=
则
=
由
当且仅当
由于n为正整数，当n=6时，
当n=7时，
则有n=7时，取得最小值，且为
设数列{an}的前n项和为Sn，令Tn=
正确答案
102
解析
解：∵
∵a1，a2，…，a100的“理想数”为101
∴
又数列2，a1，a2，…，a100的“理想数”为：
=
故答案为102
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