- 数列前n项和
- 共2492题
对于一个有限数列p=（p1，p2，…，pn），p的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为
正确答案
解析
解：由“蔡查罗和”定义，
{P1，P2，P99}的“蔡查罗和”为：
∴S1+S2+…+S99=99000，
则100项的数列{9，P1，P2，P99}“蔡查罗和”为：
故选：D．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=8，S4=40．数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn-2bn+3=0，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=
正确答案
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得
解得
∴an=4n，
∵Tn-2bn+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，Tn-1-2bn-1+3=0，
两式相减，得bn=2bn-1，（n≥2）
则数列{bn}为等比数列，
∴
（Ⅱ）
当n为偶数时，Pn=（a1+a3+…+an-1）+（b2+b4+…+bn）
=
当n为奇数时，
（法一）n-1为偶数，Pn=Pn-1+cn=2（n-1）+1+（n-1）2-2+4n=2n+n2+2n-1，
（法二）Pn=（a1+a3+…+an-2+an）+（b2+b4+…+bn-1）
=
∴
解析
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得
解得
∴an=4n，
∵Tn-2bn+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，Tn-1-2bn-1+3=0，
两式相减，得bn=2bn-1，（n≥2）
则数列{bn}为等比数列，
∴
（Ⅱ）
当n为偶数时，Pn=（a1+a3+…+an-1）+（b2+b4+…+bn）
=
当n为奇数时，
（法一）n-1为偶数，Pn=Pn-1+cn=2（n-1）+1+（n-1）2-2+4n=2n+n2+2n-1，
（法二）Pn=（a1+a3+…+an-2+an）+（b2+b4+…+bn-1）
=
∴
已知数列{an}的通项公式为an=lg（1+
A0
Blg
Clg
Dlg
正确答案
解析
解：∵an=lg（1+
∴Sn=lg2-lg
=lg2+lg
=lg3+lg
故选：B．
已知数列{an}，若a1，a2-a1，a3-a2，a4-a3，…，an-an-1是公比为2的等比数列（a1是常数），则{an}的前n项和Sn等于______．
正确答案
a1[2n+1-（n+2）]
解析
解：依题意得：a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）=
即an=a1（2n-1），
∴Sn=a1+a2+a3+a4+…+an
=a1（21+22+23+…+2n-n）
=a1[
=a1[2n+1-（n+2）]．
故答案为：a1[2n+1-（n+2）]．
求和：（a-1）+（a2-2）+（a3-3）+…+（an-n）．
正确答案
解：S=（a-1）+（a2-2）+（a3-3）+…+（an-n）
=（a+a2+a3+…+an）-（1+2+3+…+n）
当a=0时，S=-（1+2+3+…+n）=-
当a=1时，S=
当a≠1，且a≠0时，
a+a2+a3+…+an=
∴S=
解析
解：S=（a-1）+（a2-2）+（a3-3）+…+（an-n）
=（a+a2+a3+…+an）-（1+2+3+…+n）
当a=0时，S=-（1+2+3+…+n）=-
当a=1时，S=
当a≠1，且a≠0时，
a+a2+a3+…+an=
∴S=
数列{（-1）n•n}的前2012项的和S2012为______．
正确答案
1006
解析
解：S2012=-1+2-3+4-…-2011+2012
=（-1+2）+（-3+4）+…+（-2011+2012）
=1006．
故答案为：1006．
数列{an}满足a1=1且8an+1an-16an+1+2an+5=0（n≥1）．记
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn．
正确答案
解：法一：
（I）a1=1，故
故
故
故
（II）因
故猜想
因an≠2，（否则将an=2代入递推公式会导致矛盾）故
因
故
因
由
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=
法二：
（Ⅰ）由
整理得
由a1=1，有b1=2，所以
（Ⅱ）由
所以
故
由
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=
法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）
公比q=2的等比数列，
又因an≠2，故
因此
因
从而bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1=
=
=
由
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=
解析
解：法一：
（I）a1=1，故
故
故
故
（II）因
故猜想
因an≠2，（否则将an=2代入递推公式会导致矛盾）故
因
故
因
由
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=
法二：
（Ⅰ）由
整理得
由a1=1，有b1=2，所以
（Ⅱ）由
所以
故
由
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=
法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）
公比q=2的等比数列，
又因an≠2，故
因此
因
从而bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1=
=
=
由
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=
已知数列{an}的通项公式是an=-2n+10，其前n项的和是Sn，则Sn最大时n的取值为______．
正确答案
4或5
解析
解：由an=-2n+10≥0，解得n≤5，
∴n=4或5即为Sn最大时n的取值．
故答案为：n=4或5．
已知等差数列{an}中，a1=1，前n项和为Sn且满足条件：
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}的前n项和为Tn有
正确答案
解：（Ⅰ）∵
∴当n=1，则
∴d=a2-a1=1，an=a1+（n-1）d=n，
∴an=n（n∈N*）；
（Ⅱ）由
∴Tn+1-Tn=2bn-1，即bn+1=2bn-1，bn+1-1=2（bn-1），
∴{bn-1}是等比数列且b1=3，公比q=2，
∴bn-1=
∴bn=2n+1，
∴cn=
∴Wn=c1+c2+c3+…+cn=
相减得，
=
=
=
∴Wn=5-
解析
解：（Ⅰ）∵
∴当n=1，则
∴d=a2-a1=1，an=a1+（n-1）d=n，
∴an=n（n∈N*）；
（Ⅱ）由
∴Tn+1-Tn=2bn-1，即bn+1=2bn-1，bn+1-1=2（bn-1），
∴{bn-1}是等比数列且b1=3，公比q=2，
∴bn-1=
∴bn=2n+1，
∴cn=
∴Wn=c1+c2+c3+…+cn=
相减得，
=
=
=
∴Wn=5-
在一个数列中，如果∀n∈N*，都有an•an+1•an+2=k（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1=1，a2=3，公积为27，则a1+a2+a3+…+a18=______．
正确答案
78
解析
解：依题意，数列{an}是等积数列，且a1=1，a2=3，公积为27，
∴a1•a2•a3=27，即1×3a3=27，
∴a3=9．
同理可求a4=1，a5=3，a6=9，…
∴{ai}是以3为周期的数列，
∴a1=a4=…=a16=1，
a2=a5=…=a17=3，
a3=a6=…=a18=9．
∴a1+a2+a3+…+a18=（1+3+9）×6=78．
故答案为：78．
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