- 数列前n项和
- 共2492题
已知正项数列{an}为等比数列且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2=2，则该数列的前5项的和为（ ）
A
B31
C
D以上都不正确
正确答案
解析
解：∵5a2是a4与3a3的等差中项，
∴a4+3a3=2×5a2⇒a2q2+3a2q=10a2．
又∵a2=2，∴q2+3q-10=0⇒q=-5或q=2．
∵正项数列{an}
∴q=2，故
∴s5=
故选：B
（2015秋•辽宁校级月考）已知数列{an}是等差数列，a1=2，a1+a2+a3=12，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=
（3）设cn=
正确答案
解：（1）∵数列{an}为等差数列
由a1+a2+a3=12可得3a2=12
∴a2=4，又a1=2∴d=2，
数列的通项公式为an=2n
（2）由（1）可得bn=32n=9n
{bn}是首项为9，公比为9的等比数列
（3）由（1）知 
Tn=C1+C2+…+Cn
=
=
解析
解：（1）∵数列{an}为等差数列
由a1+a2+a3=12可得3a2=12
∴a2=4，又a1=2∴d=2，
数列的通项公式为an=2n
（2）由（1）可得bn=32n=9n
{bn}是首项为9，公比为9的等比数列
（3）由（1）知
Tn=C1+C2+…+Cn
=
=
已知不等式
正确答案
解析
解：∵
∴不等式
化为
由于不等式
∴
化为4-a＞log2（a-1），
∴1＜a＜3．
故选：B．
已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）设{bn}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2-（a4+1）q+S4=0．求{bn}的通项公式及其前n项和Tn．
正确答案
解：（Ⅰ）∵{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a4=7，S4=16．
∵q2-（a4+1）q+S4=0，即q2-8q+16=0，
∴（q-4）2=0，即q=4．
又∵{bn}是首项为2的等比数列，
∴
解析
解：（Ⅰ）∵{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a4=7，S4=16．
∵q2-（a4+1）q+S4=0，即q2-8q+16=0，
∴（q-4）2=0，即q=4．
又∵{bn}是首项为2的等比数列，
∴
（2015春•临海市校级期中）数列{an}中，a1=-60，an+1=an+3，若数列{bn}满足bn=|an|，则数列{bn}前30项和为______．
正确答案
765
解析
解：a1=-60，an+1=an+3，
即有an=a1+3（n-1）=-60+3n-3
=3n-63，
当n≤21时，an≤0，
当n≥22时，an＞0，
设数列{an}的前n项和为Sn，
即有Sn=
由bn=|3n-63|，
则数列{bn}前30项和为
S30-S21-S21=S30-2S21=
故答案为：765．
在数列{an}中，Sn为其前n项和，其中a1=2，a4=
正确答案
5
解析
解：由题意知，2Sn+2=Sn+Sn+1，则2Sn+2-Sn-Sn+1=0，
∴an+2+an+1+an+2=0，则an+2=-
∵a4=
∴数列{an}是首项2、从第二项开始为公比是
∴Sn=2+
当n为奇数时，Sn=
当n为偶数时，Sn=
综上可得，Sn的最大值是5，
故答案为：5．
已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n，那么a20的值是______．
正确答案
381
解析
解：由an+1=an+2n，得an+1-an=2n，
∴n≥2时，an-an-1=2（n-1），
∴a2-a1=2，a3-a2=4，a4-a3=6，…，an-an-1=2（n-1），
以上各式相加，得an-a1=
又a1=1，∴an=n（n-1）+1，且a1=1适合该式，
∴an=n（n-1）+1，
故a20=20（20-1）+1=381，
故答案为：381．
设数列（an}的前n项和为Sn，如果an=
A
B
C
D
正确答案
解析
解：an=
即有S5=
=
故选：B．
已知数列{bn}（n∈N*）是递增的等比数列，且b1，b3为方程x2-5x+4=0的两根．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若an=log2bn+3，求证：数列{an}是等差数列；
（Ⅲ）若cn=an•bn（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．
正确答案
（Ⅰ）解：∵b1，b3为方程x2-5x+4=0的两根，
数列{bn}（n∈N*）是递增的等比数列，
解方程x2-5x+4=0，得x1=1，x2=4，
∴b1=1，b3=4，∴
∴
（Ⅱ）证明：∵an=log2bn+3
=
=n-1+3=n+2，
∴数列{an}是首项为3，公比为1的等差数列．
（Ⅲ）解：cn=an•bn=（n+2）•2n-1，
∴
2Tn=3•2+4•22+5•23+…+（n+2）•2n，②
①-②，得：-Tn=3+2+22+23+…+2n-1-（n+2）•2n
=3+
=1-（n+1）•2n，
∴
解析
（Ⅰ）解：∵b1，b3为方程x2-5x+4=0的两根，
数列{bn}（n∈N*）是递增的等比数列，
解方程x2-5x+4=0，得x1=1，x2=4，
∴b1=1，b3=4，∴
∴
（Ⅱ）证明：∵an=log2bn+3
=
=n-1+3=n+2，
∴数列{an}是首项为3，公比为1的等差数列．
（Ⅲ）解：cn=an•bn=（n+2）•2n-1，
∴
2Tn=3•2+4•22+5•23+…+（n+2）•2n，②
①-②，得：-Tn=3+2+22+23+…+2n-1-（n+2）•2n
=3+
=1-（n+1）•2n，
∴
已知数列{an}中an=n•2n-1，则前n项和Sn=______．
正确答案
（n-1）2n+1
解析
解：∵数列{an}中an=n•2n-1，
∴Sn=1+2•21+3•22+…+n•2n …①，
2Sn=1+2•22+3•23+…+n•2n+1 …②，
∴①-②得
-Sn=1+（21+22+23+…+2n-1-n•2n）
∴-Sn=
∴Sn=（n-1）2n+1，
故答案为：Sn=（n-1）2n+1；
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