- 数列前n项和
- 共2492题
已知幂函数y=f（x）过点（4，2），令an=f（n+1）+f（n），n∈N+，记数列
正确答案
解析
解：∵幂函数y=f（x）=xα过点（4，2），
∴4α=2，
∴α=
∴an=f（n+1）+f（n）=
∴
∴数列{
∵Sn=10，
∴
∴n+1=121，
∴n=120．
故选B．
已知等比数列{an}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=an+log2an，Sn为数列{bn}的前n项和，求使Sn-2n+1-8≤0成立的n的取值集合．
正确答案
解：（1）∵a3+2是a2和a4的等差中项，∴2（a3+2）=a2+a4
∵2a1+a3=3a2，∴q=2（q=1舍去），a1=2
∴an=a1qn-1=2n…．（6分）
（2）bn=an+log2an=2n+n．…（7分）
所以Sn=（2+4+…+2n）+（1+2+…+n）=
因为Sn-2n+1-8≤0，所以n2+n-20≤0
解得-5≤n≤4，故所求的n的取值集合为{1，2，3，4}…．（12分）
解析
解：（1）∵a3+2是a2和a4的等差中项，∴2（a3+2）=a2+a4
∵2a1+a3=3a2，∴q=2（q=1舍去），a1=2
∴an=a1qn-1=2n…．（6分）
（2）bn=an+log2an=2n+n．…（7分）
所以Sn=（2+4+…+2n）+（1+2+…+n）=
因为Sn-2n+1-8≤0，所以n2+n-20≤0
解得-5≤n≤4，故所求的n的取值集合为{1，2，3，4}…．（12分）
已知{an}、{bn}为两个数列，其中{an}是等差数列，且a2=4，a8=16．
（1）求数列{an}的前n项和Sn；
（2）若数列{bn}满足
正确答案
解：（1）设{an}的首项为a1，公差为d，由已知，
（2）由已知
∴a1b1+a2b2+…+anbn=（n2+n）（2n-3）①
a1b1+a2b2+…+anbn+an+1bn+1=[（n+1）2+（n+1）][2（n+1）-3]②
②-①得an+1 bn+1=6n2+4n-2．而an+1=2n+2，
∴bn+1=3n-1，当n≥2时，bn=3n-4，
又n=1时，b1=2×1-3=-1，也适合上式
∴bn=3n-4．
解析
解：（1）设{an}的首项为a1，公差为d，由已知，
（2）由已知
∴a1b1+a2b2+…+anbn=（n2+n）（2n-3）①
a1b1+a2b2+…+anbn+an+1bn+1=[（n+1）2+（n+1）][2（n+1）-3]②
②-①得an+1 bn+1=6n2+4n-2．而an+1=2n+2，
∴bn+1=3n-1，当n≥2时，bn=3n-4，
又n=1时，b1=2×1-3=-1，也适合上式
∴bn=3n-4．
等比数列{an}中，公比q=2，log2a1+log2a2+…+log2a10=35，则 a1+a2+…+a10=______．
正确答案
解析
解：∵等比数列{an}中，公比q=2，
∴a1a10=a2a9=…=a5a6=
∵log2a1+log2a2+…+log2a10=35，
∴log2（a1a2…a10）=
∴
∴a1=
∴a1+a2+…+a10=
故答案为：
已知数列{an}满足an=2n-1，设函数f（n）=
（1）f（4）=______；
（2）设数列{cn}的前n项和为Tn，则Tn=______．
正确答案
1
解析
解：（1）由题意得，函数f（n）=
∴f（4）=f（2）=f（1）=a1=1，
（2）∵cn=f（2n+4），n∈N+，
∴c1=f（6）=f（3）=a3=5，c2=f（8）=f（4）=1，
当n≥3时，cn=f（2n+4）=f（2n-1+2）=f（2n-2+1）
=
∴n≥2时，Tn=5+1+（22+1）+（23+1）+…+（2n-1+1）
=1+2+22+23+…+2n-1+n+1
=2n+n，
则Tn=
故答案为：（1）1；（2）
已知定义在R上函数y=f（x+1）是偶函数，且在[1，+∞）上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），则{an}的前25项之和为（ ）
A0
B
C25
D50
正确答案
解析
解：由定义在R上函数y=f（x+1）是偶函数，
可得函数y=f（x）对任意自变量x都有f（x+1）=f（1-x），
∴函数f（x）图象关于直线x=1对称，
又函数f（x）在[1，+∞）上单调，
数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a20），
∴a6+a20=2，
∴S25=
故选：C．
（2016•日照一模）已知数列{an}前n项和Sn满足：2Sn+an=1
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=
正确答案
（I）解：∵2Sn+an=1，
∴当n≥2时，2Sn-1+an-1=1，
∴2an+an-an-1=0，化为
当n=1时，2a1+a1=1，∴a1=
∴数列{an}是等比数列，首项与公比都为
∴
（II）证明：bn=
=
=
=
∴数列{bn}的前n项和为Tn=
=
∴Tn＜
解析
（I）解：∵2Sn+an=1，
∴当n≥2时，2Sn-1+an-1=1，
∴2an+an-an-1=0，化为
当n=1时，2a1+a1=1，∴a1=
∴数列{an}是等比数列，首项与公比都为
∴
（II）证明：bn=
=
=
=
∴数列{bn}的前n项和为Tn=
=
∴Tn＜
已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=2an+n，bn=2（an+n+1），cn=（4+2an-an+1）bn，其中λ为实数，n为正整数．
（1）若a1、b2、a3成等差数列，求λ的值；
（2）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）当λ=-1时，设Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn及Tn的最大值．
正确答案
解；（1）由题意得a2=2λ+1，a3=4λ+4，b2=4λ+8，
∵a1、b2、a3成等差数列，
∴8λ+16=λ+4λ+4，
解得：λ=-4，
（2）∵bn=2（an+n+1），
∴bn+1=2（an+1+n+2）=2（2an+2n+2）=2bn，
∵b1=2（λ+2），
∴当λ=-2时，数列{bn}不是等比数列，
当λ≠-2时，数列{bn}是等比数列．
（3）当λ=-1时，数列{bn}是等比数列，其中b1=2，
∴bn=2n，
∵cn=（4+2an-an+1）bn，
∴cn=（4-n）2n，
∴Tn=3×21+2×22+1×23+…+（4-n）2n，①
2Tn=3×22+2×23+1×24+…+（4-n）2n+1，②
②-①得出：Tn=-6+22+23+24+…+2n+（4-n）2n+1
=-8+
从而T
T
∴当1≤n＜3时，T
当n=3时，T
当n＞3时，T
∴当n=3，n=4时，Tn最大，此时Tn=22．
解析
解；（1）由题意得a2=2λ+1，a3=4λ+4，b2=4λ+8，
∵a1、b2、a3成等差数列，
∴8λ+16=λ+4λ+4，
解得：λ=-4，
（2）∵bn=2（an+n+1），
∴bn+1=2（an+1+n+2）=2（2an+2n+2）=2bn，
∵b1=2（λ+2），
∴当λ=-2时，数列{bn}不是等比数列，
当λ≠-2时，数列{bn}是等比数列．
（3）当λ=-1时，数列{bn}是等比数列，其中b1=2，
∴bn=2n，
∵cn=（4+2an-an+1）bn，
∴cn=（4-n）2n，
∴Tn=3×21+2×22+1×23+…+（4-n）2n，①
2Tn=3×22+2×23+1×24+…+（4-n）2n+1，②
②-①得出：Tn=-6+22+23+24+…+2n+（4-n）2n+1
=-8+
从而T
T
∴当1≤n＜3时，T
当n=3时，T
当n＞3时，T
∴当n=3，n=4时，Tn最大，此时Tn=22．
已知等差数列{an}（n∈N*）的前n项和为Sn，且a3=5，S3=9．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}（n∈N*），若b2=a2，b3=a5，求数列{bn}的前n项和Tn．
正确答案
解：（I）∵a3=5，S3=9，
∴
∴数列{an}的通项公式
（II）∵a2=3，a5=9，
∴公比
∴数列{bn}的前n项和Tn=
解析
解：（I）∵a3=5，S3=9，
∴
∴数列{an}的通项公式
（II）∵a2=3，a5=9，
∴公比
∴数列{bn}的前n项和Tn=
数列{an}的通项an=n2（cos2
正确答案
470
解析
解：∵an=n2（cos2
∴
=
=
=
=
=
=470
故答案为：470
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