- 数列前n项和
- 共2492题
数列{an}的通项公式为an=n+2n（n=1，2，3，…），则{an}的前n项和Sn=______．
正确答案
解析
解：Sn=a1+…+an=（1+2+…+n）+（21+…+2n）=
故答案为：
下面的数组中均由三个数组成，它们是（1，2，3），（2，4，6），（3，8，11），（4，16，20），（5，32，37），…，（an，bn，cn），若数列{cn}的前n项和为Mn，则M10等于（ ）
正确答案
解析
解：观察题中数组可得an=n，bn=2n，
由每组数都是“前两个数等于第三个数”，
猜想cn=n+2n，
从而M10=（1+2）+（2+4）+…+（10+210）
=（1+2+…+10）+（2+4+…+210）
=
故选：C．
正实数数列{an}中，a1=1，a2=5，且{an2}成等差数列．
（1）证明数列{an}中有无穷多项为无理数；
（2）当n为何值时，an为整数，并求出使an＜200的所有整数项的和．
正确答案
（1）证明：由已知有：an2=1+24（n-1），从而
方法一：取n-1=242k-1，则
用反证法证明这些an都是无理数．
假设
故an-24k≥1．an-24k＞1，与（an-24k）（an+24k）=1矛盾，
所以
（2）要使an为整数，由（an-1）（an+1）=24（n-1）可知：
an-1，an+1同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有an-1=6m或an+1=6m
当an=6m+1时，有an2=36m2+12m+1=1+12m（3m+1）（m∈N）
又m（3m+1）必为偶数，所以an=6m+1（m∈N）满足an2=1+24（n-1）
即
同理an=6m-1（m∈N+）有an2=36m2-12m+1=1+12（3m-1）（m∈N+）
也满足an2=1+24（n-1），即
显然an=6m-1（m∈N+）和an=6m+1（m∈N）是数列中的不同项；
所以当
由an=6m+1＜200（m∈N）有0≤m≤33，
由an=6m-1＜200（m∈N+）有1≤m≤33．
设an中满足an＜200的所有整数项的和为S，则
S=（5+11+…+197）+（1+7+…+199）=
解析
（1）证明：由已知有：an2=1+24（n-1），从而
方法一：取n-1=242k-1，则
用反证法证明这些an都是无理数．
假设
故an-24k≥1．an-24k＞1，与（an-24k）（an+24k）=1矛盾，
所以
（2）要使an为整数，由（an-1）（an+1）=24（n-1）可知：
an-1，an+1同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有an-1=6m或an+1=6m
当an=6m+1时，有an2=36m2+12m+1=1+12m（3m+1）（m∈N）
又m（3m+1）必为偶数，所以an=6m+1（m∈N）满足an2=1+24（n-1）
即
同理an=6m-1（m∈N+）有an2=36m2-12m+1=1+12（3m-1）（m∈N+）
也满足an2=1+24（n-1），即
显然an=6m-1（m∈N+）和an=6m+1（m∈N）是数列中的不同项；
所以当
由an=6m+1＜200（m∈N）有0≤m≤33，
由an=6m-1＜200（m∈N+）有1≤m≤33．
设an中满足an＜200的所有整数项的和为S，则
S=（5+11+…+197）+（1+7+…+199）=
已知数列{an}的通项公式an=
正确答案
解析
解：由通项公式知，a1+a2+…+a100=-3+5-7+9-…-199+201
=（-3+5）+（-7+9）+…+（-199+201）
=2×50=100，
故选B．
已知
正确答案
解析
解：令an=
∵
∴数列共有251项，
故选A．
已知数列{an}的前4项和等于4，设前n项和为Sn，且n≥2时，
正确答案
25
解析
解：∵n≥2时，an=sn-sn-1，又
∴
∴
∴{
∴
∴s10=25
答案为：25
定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的．已知数列{an}满足a1=a（a＞0），a2=1，
正确答案
5235
解析
解：当0＜a＜2时，
∵a1=a（a＞0），a2=1，
∴a3=
a4=2max{
a5=
a6=
a7=
…
∴数列{an}是以5为周期的周期数列，
∵2014=402×5+4，
∴a2014=a4=
解得a=±2，不成立；
当a≥2时，
∵a1=a（a＞0），a2=1，
∴a3=
a4=2max{
a5=
a6=
a7=
a8=
…
∴数列{an}是以5为周期的周期数列，
∵2014=402×5+4，
∴a2014=a4=4=2a，解得a=2，
∴S2014=402（a+1+
=402（2+1+2+4+4）+2+1+2+4
=5235．
故答案为：5235．
数列{an}的前m项为
正确答案
解析
解：把bn的每4项求和的数列设为Cn，
也就是说 C1=B1+B2+…+B4，Ct=B4t-3+B4t-2+…+B4t，
因此，求bn前4t项之和就是求Cn前t项之和．
由于bn是周期为4的似周期性等比数列，
则
所以
由等比数列求和公式，可得为c1+c2+c3+…+ct=
=
这就是数列bn前4t项之和，最后就是加上b4t+1，b4t+2这两项，
由于b4t+1=b1×3t=3t．b4t+2=b1×3t=3t．
因此，数列bn前4t+2项和就是
故答案为：
设数列{an}的前n项和为
正确答案
解析
解：∵Sn=n2-4n+1，
∴an=
∴①当n≤2时，an＜0，
∴S1′=|a1|=-a1=2，S2′=|a1|+|a2|=-a1-a2=3；
②当n≥3，|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2+a3+…+an=-2S2+Sn=n2-4n+7．
∴|a1|+|a2|+…+|an|=
故答案为：
已知数列{an}的前n和Sn=
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设cn=
正确答案
解：（1）当n=1时，a1=S1=
当n＞1时，an=Sn-Sn-1=
∵当n=1时，3×1+1=4，
∴an=3n+1
（2）∵Cn=
∴
解析
解：（1）当n=1时，a1=S1=
当n＞1时，an=Sn-Sn-1=
∵当n=1时，3×1+1=4，
∴an=3n+1
（2）∵Cn=
∴
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