数列前n项和_章节学习

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题型：单选题

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单选题

原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生多少天？（　　）

A1326

B510

C429

D336

正确答案

B

解析

解：由题意满七进一，可得该图示为七进制数，

化为十进制数为1×73+3×72+2×7+6=510．

故选：B．

1

题型：填空题

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填空题

已知数列{bn}满足b1=1，b2=2，bn+1=|bn-bn-1|（n≥2，n∈N*）．则该数列前10项和为 ______．

正确答案

9

解析

解：∵b1=1，b2=2，bn+1=|bn-bn-1|（n≥2，n∈N*）．

∴b3=1，b4=1，b5=0，b6=1，b7=1，b8=0，b9=1，b10=1，

∴数列前10项和S10=1+2+1+1+0+1+1+0+1+1=9．

故答案：9．

1

题型：填空题

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填空题

数列{an}的通项为an=（-1）n（2n-1）•cos+1前n项和为Sn，则S60=______．

正确答案

120

解析

解：由函数f（n）=cos的周期性可得a1=a3=…=a59=1，a2+a4=a6+a8=…=a58+a60=6，

∴S60=1×30+6×15=120．

故答案为：120．

1

题型：简答题

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简答题

已知数列{an}是首项a1=1的等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是首项b1=2的等比数列，且把S2=16，b1b3=b4．

（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式．

（2）令c1=1，c2k=a2k-1，c2k+1=a2k+kbk，其中k=1，2，3，…，求数列{cn}的前2n+1项和T2n+1．

正确答案

解：（1）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，

则an=1+（n-1）d，，

由b1b3=b4，得q==b1=2，

∴an=2n-1，．

（2）T2n+1=c1+a1+（a2+b1）+a3+（a4+2•b2）+…+a2n-1+（a2n+nbn）

=1+S2n+（b1+2b2+…+nbn），

令A=b1+2b2+…+nbn，

则A=2+2•22+…+n•2n，

2A=22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1，

∴-A=2+22+…+2n-n•2n+1，

∴，

∵=4n2，

∴

=3+4n2+（n-1）•2n+1．

解析

解：（1）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，

则an=1+（n-1）d，，

由b1b3=b4，得q==b1=2，

∴an=2n-1，．

（2）T2n+1=c1+a1+（a2+b1）+a3+（a4+2•b2）+…+a2n-1+（a2n+nbn）

=1+S2n+（b1+2b2+…+nbn），

令A=b1+2b2+…+nbn，

则A=2+2•22+…+n•2n，

2A=22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1，

∴-A=2+22+…+2n-n•2n+1，

∴，

∵=4n2，

∴

=3+4n2+（n-1）•2n+1．

1

题型：填空题

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填空题

已知数列an=n2sin，则a1+a2+a3+…+a100=______．

正确答案

-5000

解析

解：∵an=n2sin，，k∈N，

∴an=，k∈N，

∴a1+a2+a3+…+a100

=1-32+52-72+92-112+972-992

=-2（1+3+5+7+9+11+…+97+99）

=-2×

=-5000．

故答案为：-5000．

1

题型：填空题

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填空题

已知数列{an}的前n项和为Sn，an=2n-33，记bn=，则bn取最大值时，n=______．

正确答案

33或34

解析

解：∵an=2n-33，

∴数列{an}是等差数列，Sn==n（n-32），

∴bn===，

当n≤32时，bn≤0；

当n≥33时，bn＞0，

此时bn-bn+1==，

当n=33时，b33=b34＞0，

当n≥34时，bn＞bn+1，此时数列{bn}单调递减．

综上可得：只有当n=33或34时，bn取最大值．

故答案为：33或34．

1

题型：单选题

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单选题

已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）-x的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和Sn，则S10=（　　）

A45

B55

C90

D110

正确答案

C

解析

解：当0＜x≤2时，有-2＜x-2≤0，则f（x）=f（x-2）+1=2x-2，

当2＜x≤4时，有0＜x-2≤2，则f（x）=f（x-2）+1=2x-4+1，

当4＜x≤6时，有2＜x-2≤4，则f（x）=f（x-2）+1=2x-6+2，

当6＜x≤8时，有4＜x-1≤6，则f（x）=f（x-2）+1=2x-8+3，

以此类推，当2n＜x≤2n+2（其中n∈N）时，则f（x）=f（x-2）+1=2x-2n-2+n，

∴函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（-1，），

由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．

将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x-1和y=x的图象，

取x≤0的部分，可见它们有两个交点（0，0），（-1，）．

即当x≤0时，方程f（x）-x=0有两个根x=-1，x=0；

当0＜x≤2时，由函数图象平移可得g（x）=f（x）-x的零点为1，2；

以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，4]，（4，6]，…，（2n，2n+2]上的零点分别为：

3，4；5，6；…；2n+1，2n+2；

综上所述函数g（x）=f（x）-x的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为：

0，2，4，…，

其通项公式为：an=2（n-1），前10项的和为S10=．

故选：C．

1

题型：单选题

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单选题

设数列{an}满足a1=0，且2an+1=1+anan+1，bn=，记Sn=b1+b2+…+bn，则S100=（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵数列{an}满足a1=0，且2an+1=1+anan+1，

∴2a2=1，解得a2=；

同理可得a3=，a4=，…，

可得．

代入2an+1=1+anan+1，满足等式．

∴bn==，

记Sn=b1+b2+…+bn，

则S100=++…+

=1-．

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

若数列{an}的前n项和Sn=n2（n∈N*），则等于（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：当n=1时，a1=s1=1

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1

总之an=2n-1

∴=

∴

=

故选A

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题型：简答题

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简答题

已知{an}是公差不为0的等差数列，它的前9项和S9=90，且a2，a4，a8成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{an}和{bn}满足等式：（n为正整数），求数列{bn}的前n项和Tn．

正确答案

解：（1）设an=a1+（n-1）d d≠0，则

即，解得a1=2，d=2．

所以an=2+（n-1）×2=2n．

（2）解：由（1）得， ①，

当n≥2时， ②，

由①-②得，，所以bn=2•3n．n≥2．

当n=1时，b1=3a1=6也适合上式，所以bn=2•3n．n为正整数．

因为，所以{bn}是首项为b1=6，公比为3的等比数列，

所以Tn=b1+b2+…+bn==3n+1-3．

解析

解：（1）设an=a1+（n-1）d d≠0，则

即，解得a1=2，d=2．

所以an=2+（n-1）×2=2n．

（2）解：由（1）得， ①，

当n≥2时， ②，

由①-②得，，所以bn=2•3n．n≥2．

当n=1时，b1=3a1=6也适合上式，所以bn=2•3n．n为正整数．

因为，所以{bn}是首项为b1=6，公比为3的等比数列，

所以Tn=b1+b2+…+bn==3n+1-3．

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