- 数列前n项和
- 共2492题
已知函数f（x）=
正确答案
2×（3n-1）
解析
解：∵函数f（x）=
∴x∈[1，2]时，f（x）=x-1∈[0，1]；x∈（1，3]时，f（x）=3-x．
当3＜x≤9时，则1＜
依此类推画出函数图象：
∵集合P={x|f（x）=m，0＜m＜1}（m为常数）的元素为xi（i=1，2，3…）．其中x1≤x2≤x3≤x4≤…．
∴当1≤x≤3时，则y=f（x），与y=m有两个交点x1，x2，且x1+x2=2×2=4；
同理，当x∈（0，9]时，则y=f（x），与y=m有两个交点x3，x4，且x3+x4=2×6=4×3；
同理，当x∈（9，27]时，则y=f（x），与y=m有两个交点x5，x6，且x5+x6═2×18=4×32；
…．
∴当n∈N*时，x1+x2+x3+x4+…+x2n=4×（1+3+32+…+3n-1）=
故答案为：2×（3n-1）．
数列{an}的通项公式为an=（-1）n-1（4n-3），则它的前100项和S100=______．
正确答案
-200
解析
解：∵an=（-1）n-1（4n-3），
所以a1=1，a2=-5，a3=9，a4=-13，…a99=393，a100=-397，
所以S100=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a99+a100）
=-4+（-4）+…+（-4）
=-4×50
=-200
已知等比数列{an}中，a1=2，且a1，a2+1，a3成等差数列，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项的和．
正确答案
解：（1）设数列{an}的公比为为q，依题意，a2=2q，a3=2q2；
∵a1，a2+1，a3成等差数列，
∴a1+a3=2（a2+1），
∴2+2q2=4q+2，
解得q=2或q=0，
∵q≠0，
∴q=2，an=2•2n-1=2n…（5分）
（2）设数列{nan}的前n项的和为Sn，
则Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n（1）
2Sn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1（2）…（8分）
（1）-（2）得：
-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1
=
=-2-（n-1）×2n+1，
∴Sn=（n-1）×2n+1+2…（14分）
解析
解：（1）设数列{an}的公比为为q，依题意，a2=2q，a3=2q2；
∵a1，a2+1，a3成等差数列，
∴a1+a3=2（a2+1），
∴2+2q2=4q+2，
解得q=2或q=0，
∵q≠0，
∴q=2，an=2•2n-1=2n…（5分）
（2）设数列{nan}的前n项的和为Sn，
则Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n（1）
2Sn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1（2）…（8分）
（1）-（2）得：
-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1
=
=-2-（n-1）×2n+1，
∴Sn=（n-1）×2n+1+2…（14分）
数列{an}的通项公式an=cos
正确答案
-1
解析
解：∵
∴数列an=cos
计算可得a1=0，a2=-1，a3=0，a4=1，
∴S2015=503×（0-1+0+1）+（0-1+0）=-1
故答案为：-1．
数列{an}满足a1=2，an+1=
（1）设bn=
（2）设cn=
正确答案
解：（Ⅰ）∵an+1=
∴
即
∴
即
∴
…
累加得
∵
∴
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知
∴
∴cn=
∴
=
解析
解：（Ⅰ）∵an+1=
∴
即
∴
即
∴
…
累加得
∵
∴
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知
∴
∴cn=
∴
=
（2015秋•唐山校级月考）数列{an}满足an+1+（-1）nan=2n-1，则{an}的前20项和为______．
正确答案
210
解析
解：∵an+1+（-1）nan=2n-1，
∴a2-a1=1，a3+a2=3，a4-a3=5．
可得a3+a1=2，a2+a4=8，
同理可得：a5+a7=a3+a1=2=a9+a11=a13+a15=a17+a19．
a6+a8=24，a10+a12=40，a14+a16=56，a18+a20=72．
∴{an}的前20项和=210．
若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e2，则lna1+lna2+…+lna20=______．
正确答案
20
解析
解：因为a10a11+a9a12=2e2，
由等比数列的性质得，a10a11=a9a12=e2，
所以lna1+lna2+…+lna20
=ln（a1a2+…+a20）=ln
=10lne2=20，
故答案为：20．
设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1=1，且2a2，S3，a4+2成等差数列，则数列{an2}的前5项和（ ）
A341
B
C1023
D1024
正确答案
解析
解：∵2a2，S3，a4+2成等差数列，a1=1
∴2S3=2a2+a4+2
∴q≠1
∴2×
∴q3-2q2=0
∵q≠0
∴q=2
∴数列
前5项和为
故选A
已知f（n）=
正确答案
解析
解：∵f（n）=
n为奇数时，an=f（n）+f（n+1）=n2-（n+1）2=-2n-1，
an+1=f（n+1）+f（n+2）=-（n+1）2+（n+2）2=2n+3，
∴an+an+1=2，
∴a1+a2=2，a3+a4=2，…，a2013+a2014=2，
∴a1+a2+…+a2014
=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2013+a2014）
=1007×2=2014．
故选：B．
Sn为数列{an}的前n项和，己知an＞0，an2+2an=4Sn+3
（I）求{an}的通项公式：
（Ⅱ）设bn=
正确答案
解：（I）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3
两式相减得an+12-an2+2（an+1-an）=4an+1，
即2（an+1+an）=an+12-an2=（an+1+an）（an+1-an），
∵an＞0，∴an+1-an=2，
∵a12+2a1=4a1+3，
∴a1=-1（舍）或a1=3，
则{an}是首项为3，公差d=2的等差数列，
∴{an}的通项公式an=3+2（n-1）=2n+1：
（Ⅱ）∵an=2n+1，
∴bn=
∴数列{bn}的前n项和Tn=
解析
解：（I）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3
两式相减得an+12-an2+2（an+1-an）=4an+1，
即2（an+1+an）=an+12-an2=（an+1+an）（an+1-an），
∵an＞0，∴an+1-an=2，
∵a12+2a1=4a1+3，
∴a1=-1（舍）或a1=3，
则{an}是首项为3，公差d=2的等差数列，
∴{an}的通项公式an=3+2（n-1）=2n+1：
（Ⅱ）∵an=2n+1，
∴bn=
∴数列{bn}的前n项和Tn=
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