数列前n项和_章节学习

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题型：填空题

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填空题

等比数列{an}中，a1=512，公比q=，用πn表示它的n项之积：πn=a1•a2•a3…an，πn取得最大值时n=______．

正确答案

9或10

解析

解：在等比数列{an}中，由a1=512，公比q=，得an=512•（）n-1，

当n=10时，an=1，

∴n≤9时，an＞1，

n＞10时，0＜an＜1，

∴πn最大时，n取9或10．

故答案为：9或10．

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题型：填空题

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填空题

已知数列{an}的前n项和为sn，且，请计算s3=______，根据计算结果，猜想sn的表达式为______．

正确答案

解析

解：，

=，

S3=S2+a3==，

由上各式可看出分子为1、2、3，与序号一致，分母为4、7、10，为分子的3倍加1，

据此猜想，

故答案为：；．

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题型：简答题

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简答题

在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=．

（1）求an与bn；

（2）设数列{cn}满足cn=|bn-a5|，求{cn}的前项和Tn．

正确答案

（本题满分14分）

解：（1）∵等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，

公比为q，且b2+S2=12，q=，等差数列{an}中，a1=3，

∴，即，解得q=3，或q=-4（舍），d=3，

∴an=3n，（7分）

（2）∵cn=|bn-a5|，

∴cn=|3n-1-15|=，

∴当n≤3时，=，

当n≥4时，Tn=-15n+2T3=．

∴．（14分）

解析

（本题满分14分）

解：（1）∵等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，

公比为q，且b2+S2=12，q=，等差数列{an}中，a1=3，

∴，即，解得q=3，或q=-4（舍），d=3，

∴an=3n，（7分）

（2）∵cn=|bn-a5|，

∴cn=|3n-1-15|=，

∴当n≤3时，=，

当n≥4时，Tn=-15n+2T3=．

∴．（14分）

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题型：填空题

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填空题

计算：++…+=______．

正确答案

解析

解：设Sn=++…+，

当n=1时，S1=；

当n≥2时，Sn===，

n=1时上式也成立，

∴Sn=，

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知数列{an}的通项公式an=，则{an}的前n项和为______．

正确答案

解析

解：由an=，

可知数列{an}的所有奇数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列，

所有偶数项构成以4为首项，以4为公比的等比数列．

当n为奇数时，

+n+1

=；

当n为偶数时，

=．

∴{an}的前n项和为．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

在n行m列矩阵中，记位于第i行第j列的数为aij（i，j=1，2…，n）．当n=9时，a11+a22+a33+…+a99=______．

正确答案

45

解析

解：由矩阵可知，a11+a22+a33+…+a99=1+3+5+7+9+2+4+6+8=45．

故答案为：45

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题型：简答题

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简答题

（文科）已知数列{an}满足：a1=1，a2=，且[3+（-1）n]an+2-2an+2[（-1）n-1]=0，n∈N*．

（Ⅰ）求a3，a4，a5，a6的值及数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=a2n-1•a2n，求数列{bn}的前n项和Sn．

正确答案

解：（Ⅰ）a1=1，a2=，且[3+（-1）n]an+2-2an+2[（-1）n-1]=0，

则2a3-2a1-4=0，解得a3=3，

4a4-2a2=0，解得a4=，

2a5-2a3-4=0，解得a5=5，

4a6-2a4=0，解得a6=，

当n为奇数时，an+2=an+2，an=n；

当n为偶数时，an+2=an，an=．

即有an=；

（Ⅱ）由于2n-1为奇数，则a2n-1=2n-1，

由于2n为偶数，则a2n=（）n．

因此，bn=a2n-1•a2n=（2n-1）•（）n．

Sn=1•+3•（）2+5•（）3+…+（2n-3）•（）n-1+（2n-1）•（）n，

Sn=1•（）2+3•（）3+5•（）4+…+（2n-3）•（）n+（2n-1）•（）n+1，

两式相减得Sn=1•+2[（）2+（）3+（）4+…+（）n]-（2n-1）•（）n+1，

=+2•-（2n-1）•（）n+1，

化简可得，Sn=3-．

解析

解：（Ⅰ）a1=1，a2=，且[3+（-1）n]an+2-2an+2[（-1）n-1]=0，

则2a3-2a1-4=0，解得a3=3，

4a4-2a2=0，解得a4=，

2a5-2a3-4=0，解得a5=5，

4a6-2a4=0，解得a6=，

当n为奇数时，an+2=an+2，an=n；

当n为偶数时，an+2=an，an=．

即有an=；

（Ⅱ）由于2n-1为奇数，则a2n-1=2n-1，

由于2n为偶数，则a2n=（）n．

因此，bn=a2n-1•a2n=（2n-1）•（）n．

Sn=1•+3•（）2+5•（）3+…+（2n-3）•（）n-1+（2n-1）•（）n，

Sn=1•（）2+3•（）3+5•（）4+…+（2n-3）•（）n+（2n-1）•（）n+1，

两式相减得Sn=1•+2[（）2+（）3+（）4+…+（）n]-（2n-1）•（）n+1，

=+2•-（2n-1）•（）n+1，

化简可得，Sn=3-．

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题型：填空题

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填空题

已知Sn=2+24+27+210+…+23n+10（n∈N*），则Sn=______．

正确答案

解析

解：因为数列各项的指数是：1，4，7，10…

是以1为首项，3为公差的等差数列，

所以其通项为：1+3（x-1）

令3n+10=1+3（x-1）⇒x=n+4．

即求首项为2，公比为23的等比数列的前n+4的和．

∴Sn=2+24+27+210+…+23n+10

==（8n+4-1）．

故答案为：（8n+4-1）．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•武汉校级月考）设数列{an}的通项公式为an=（-1）n（2n-1）•cos，其前n项和为Sn，则S120=（　　）

A-60

B-120

C180

D240

正确答案

D

解析

解：由an=（-1）n（2n-1）cos+1，

得a1=-cos+1=1，a2=3cosπ+1=-2，

a3=-5cos+1=1，a4=7cos2π+1=8，

a5=-9cos+1=1，a6=11cos3π+1=-10，

a7=-13cos+1=1，a8=15cos4π+1=16，

…

由上可知，数列{an}的奇数项为1，每两个偶数项的和为6，

∴S120=（a1+a3+…+a119）+（a2+a4+…+a58+a120）=60+30×6=240．

故选：D．

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题型：填空题

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填空题

数列1，2，3，5，8，13，21，…最初是由意大利数学家列昂那多•斐波那契于1202年兔子繁殖问题中提出来的，称之为斐波那契数列，又称黄金分割数列，后来发现很多自然现象都符合这个数列的规律，某校数学兴趣小组对该数列研究后，类比该数列各项产生的办法，得到数列{an}：1，2，1，6，9，10，17，…，设数列{an}的前n项和为Sn

（Ⅰ）请计算：a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5，并依此规律求数列{an}的第8项a8=______

（Ⅱ）S3n+1=______（请用关于n的多项式表示．12+22+33+…+n2=．

正确答案

22

解析

解：①由题意得a1=1，a2=2，a3=1，a4=6，a5=9，a6=10，a7=17，…，

计算：a1+a2+a3=4，a2+a3+a4=9，a3+a4+a5=16，…，

可归纳得数列{an}满足的递推关系式为an+an+1+an+2=（n+1）2，

可得an+1+an+2+an+3=（n+2）2，

两式相减得an+3-an=2n+3．

∴a8=a5+（2×5+3）=9+13=22．

②由an+an+1+an+2=（n+1）2，

可得a1+a2+a3=（1+1）2，a4+a5+a6=（4+1）2，a7+a8+a9=（7+1）2，…，a3n-2+a3n-1+a3n=（3n-1）2=9n2-6n+1，

∴S3n=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+（a7+a8+a9）+…+（a3n-2+a3n-1+a3n）

=9（12+22+…+n2）-6（1+2+…+n）+n

=-+n

=．

由an+3-an=2n+3得：

a4-a1=2×1+3，a7-a4=2×4+3，…，a3n+1-a3n-2=2（3n-2）+3．

∴a3n+1-a1=2×（1+4+…+3n-2）+3n=+3n=3n2+2n，

∴a3n+1=3n2+2n+1．

∴S3n+1=S3n+a3n+1=+3n2+2n+1=．

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