- 数列前n项和
- 共2492题
数列{an}的通项公式an=ncos
正确答案
1
1007
解析
解：由an=ncos
得a1=cos
a2=2cosπ+1=-1，
a3=3cos
a4=4cos2π+1=5，
a5=5cos
a6=6cos3π+1=-5，
a7=7cos
a8=8cos4π+1=9，
…
由上可知数列的项以4为周期周期出现，且每4项的和为6．
所以S1=1，
S2015=503×6+1-2013+1=1007．
故答案为：1，1007．
（2014秋•龙川县校级月考）已知数列{an}，其前n项和为Sn，点（n，Sn）在以点F（0，
（1）求数列{an}{bn}的通项公式；
（2）设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
正确答案
解析
解：（1）以点F（0，
∵点（n，Sn）在抛物线上，
∴
当n=1时，a1=S1=1；
当≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1，
当n=1时，上式也成立．
∴an=2n-1．
∴
综上可得：an=2n-1．，bn=22n-1（n∈N*）．
（2）cn=anbn=（2n-1）•22n-1．
∴数列{cn}的前n项和Tn=2+3×23+5×25+…+（2n-1）•22n-1，
4Tn=2×22+3×25+…+（2n-3）×22n-1+（2n-1）×22n+1，
∴-3Tn=2+2×23+2×25+…+2×22n-1-（2n-1）×22n+1=
∴Tn=
设Sn为数列{an}的前n项之和，若不等式n2an2+4Sn2≥λn2a12对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为______．
正确答案
解析
解：∵不等式n2an2+4Sn2≥λn2a12对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立，
∴
当a1≠0时，化为
当
∴
故答案为：
数列{an}满足an+1-an=2，a1=2，等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a8．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
正确答案
解：（I）∵an+1-an=2，a1=2，
∴数列{an}为等差数列，
∴an=2+（n-1）2=2n，（3分）
∵等比数列{bn}满足b1=a1=2，b4=a8=16，
∴
则
（II）∵an=2n，bn=2n，
∴
则
两式相减得
整理得
解析
解：（I）∵an+1-an=2，a1=2，
∴数列{an}为等差数列，
∴an=2+（n-1）2=2n，（3分）
∵等比数列{bn}满足b1=a1=2，b4=a8=16，
∴
则
（II）∵an=2n，bn=2n，
∴
则
两式相减得
整理得
数列{an}前n项和为Sn，a1=4，an+1=2Sn-2n+4．
（1）求证：数列{an-1}为等比数列；
（2）设
正确答案
证明：（1）∵an+1=2Sn-2n+4，∴n≥2时，an=2Sn-1-2（n-1）+4
∴n≥2时，an+1=3an-2（2分）
又a2=2S1-2+4=10，∴n≥1时an+1=3an-2（4分）
∵a1-1=3≠0，∴an-1≠0，
∴
（2）由（1）
∴
∴
∴
∴8Tn＜1（12分）
解析
证明：（1）∵an+1=2Sn-2n+4，∴n≥2时，an=2Sn-1-2（n-1）+4
∴n≥2时，an+1=3an-2（2分）
又a2=2S1-2+4=10，∴n≥1时an+1=3an-2（4分）
∵a1-1=3≠0，∴an-1≠0，
∴
（2）由（1）
∴
∴
∴
∴8Tn＜1（12分）
在公差为d（d≠0）的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）令cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
正确答案
解：（1）由条件得：
（2）Tn=c1+c2+c3+…+cnTn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn①qTn=a1b2+a2b3+a3b4+…+an-1bn+anbn+1②
①-②：
即
∴Tn=（n-1）6n+1
解析
解：（1）由条件得：
（2）Tn=c1+c2+c3+…+cnTn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn①qTn=a1b2+a2b3+a3b4+…+an-1bn+anbn+1②
①-②：
即
∴Tn=（n-1）6n+1
正确答案
解析
解：∵
∴
=（1-
=1-
=
故答案为：
正确答案
解析
解：∵
∴原式=
故答案为
设数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20，数列{bn}的前n项和为Sn=1-
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若cn=an•bn，n=1，2，3，…，求数列{cn}的前n项和Tn．
正确答案
（Ⅰ）解：∵数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20，
∴公差d=
∵a5=a1+4×3=14，
∴a1=2．
∴an=2+（n-1）×3=3n-1．
∵数列{bn}的前n项和为Sn=1-
∴
bn=Sn-Sn-1=[1-
当n=1时，
∴
（Ⅱ）由an=3n-1，
得cn=an•bn=
∴
两式相减，得
∴
解析
（Ⅰ）解：∵数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20，
∴公差d=
∵a5=a1+4×3=14，
∴a1=2．
∴an=2+（n-1）×3=3n-1．
∵数列{bn}的前n项和为Sn=1-
∴
bn=Sn-Sn-1=[1-
当n=1时，
∴
（Ⅱ）由an=3n-1，
得cn=an•bn=
∴
两式相减，得
∴
已知数列{an}，ai∈{-1，0，1}（i=1，2，3，…2011），若a1+a2+…+a2011=11，且（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2011+1）2=2088，则a1，a2，…，a2011中是1的个数为______．
正确答案
33
解析
解：由（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2011+1）2=2088，得
又a1+a2+…+a2011=11，
所以
设a1，a2，…，a2011中1的个数为x，-1的个数为y，则x+y=55①，
又a1+a2+…+a2011=11，则x-y=11②，
联立①②解得x=33，即1的个数为33个，
故答案为：33．
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