- 数列前n项和
- 共2492题
数列{an}的通项公式
正确答案
99
解析
解：根据题意，
则Sn=（
若Sn=9，即
解可得n=99；
故答案为99．
已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别为等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}对n∈N+均有
正确答案
解：（1）因为a1=1，则a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d，
又等差数列{an}的第2项、第5项、第14项分别为等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项，
∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），
即3d（d-2）=0，又公差d＞0，∴d=2，
则an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
又b2=a2=3，b3=a5=9，
∴数列{bn}的公比为3，
则bn=
（2）由
当n=1时，
当n＞1时，
①-②得 
∴cn=2bn=2•3n-1（n＞1），而c1=3不适用该通项公式．
∴cn=
∴c1+c2+c3+…c2012=3+2•3+2•32+…+2•32011
=1+2•1+2•3+2•32+…+2•32011=1+2•
解析
解：（1）因为a1=1，则a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d，
又等差数列{an}的第2项、第5项、第14项分别为等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项，
∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），
即3d（d-2）=0，又公差d＞0，∴d=2，
则an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
又b2=a2=3，b3=a5=9，
∴数列{bn}的公比为3，
则bn=
（2）由
当n=1时，
当n＞1时，
①-②得
∴cn=2bn=2•3n-1（n＞1），而c1=3不适用该通项公式．
∴cn=
∴c1+c2+c3+…c2012=3+2•3+2•32+…+2•32011
=1+2•1+2•3+2•32+…+2•32011=1+2•
1×2+2×3+…+99×100=______ （用数字作答）．
正确答案
333300
解析
解：1×2+2×3+3×4+…+99×100，
=1×（1+1）+2×（2+1）+3×（3+1）+…+98×（98+1）+99×（99+1），
=12+1+22+2+32+3+…+982+98+992+99，
=（12+22+32+…+982+992）+（1+2+3+…+98+99），
=99×（99+1）×（2×99+1）÷6+（1+99）×99÷2，
=328350+4950
=333300．
已知数列1
An2+1-
Bn2+2-
Cn2+1-
Dn2+2-
正确答案
解析
解：Sn=1+3+5+…+（2n-1）+
=
=n2+
故选：A．
设正数数列{an}的前n项和是bn，数列{bn}的前n项之积是cn，且bn+cn=1（n∈N*），则
正确答案
440
解析
解：由题意可得，
bn+cn=1
∴bn+1=bn+1（bn+cn）=bn+1bn+bn+1Cn
=bn+1bn+cn+1=bnbn+1+1-bn+1
∴2bn+1-bnbn+1-1=0
∴bn+1（2-bn）=1
∴0＜bn＜2
若bn+1=1则bn=1，bn-1=bn-2=…=b1=1与 
∴bn+1≠1
∴bn+1-1=bn+1（bn-1）
=（bn-1）（bn+1-1+1）
=（bn-1）（bn+1-1）+（bn-1）
∴
∴
∴
由等差数列的通项公式可得，
∴
∴an=bn-bn-1=
∴
所以
故答案为：440．
设Sn是等差数列{an}前n项的和．已知
正确答案
解：设等差数列{an}的首项a1=a，公差为d，则通项为
an=a+（n-1）d，
前n项和为
依题意有
其中S5≠0．
由此可得
整理得
解方程组得
由此得an=1；或an=4-
经验证知时an=1，S5=5，或
故所求等差数列的通项为an=1，或
解析
解：设等差数列{an}的首项a1=a，公差为d，则通项为
an=a+（n-1）d，
前n项和为
依题意有
其中S5≠0．
由此可得
整理得
解方程组得
由此得an=1；或an=4-
经验证知时an=1，S5=5，或
故所求等差数列的通项为an=1，或
已知函数f（x）=-x3+mx在（0，1）上是增函数，
（Ⅰ）实数m的取值集合为A，当m取集合A中的最小值时，定义数列{an}满足a1=3，且an＞0，
（Ⅱ）若bn=nan，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：
正确答案
解：（Ⅰ）由f（x）=-x3+mx，得f′（x）=-3x2+m，
∵f（x）=-x3+mx在（0，1）上是增函数，∴f′（x）=-3x2+m≥0在（0，1）上恒成立，
即m≥3x2，得m≥3，
故所求的集合A为[3，+∞）；
∴m=3，∴f′（x）=-3x2+3，
∵
又a1=3≠0，∴
∴数列{an}是以3为首项，以3为公比的等比数列，故
（Ⅱ）由（1）得，bn=nan=n•3n，
∴Sn=1•3+2•32+3•33+…+n•3n ①
3Sn=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1 ②
①-②得，-2Sn=3+32+33+…+3n-n•3n+1=
化简得，
解析
解：（Ⅰ）由f（x）=-x3+mx，得f′（x）=-3x2+m，
∵f（x）=-x3+mx在（0，1）上是增函数，∴f′（x）=-3x2+m≥0在（0，1）上恒成立，
即m≥3x2，得m≥3，
故所求的集合A为[3，+∞）；
∴m=3，∴f′（x）=-3x2+3，
∵
又a1=3≠0，∴
∴数列{an}是以3为首项，以3为公比的等比数列，故
（Ⅱ）由（1）得，bn=nan=n•3n，
∴Sn=1•3+2•32+3•33+…+n•3n ①
3Sn=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1 ②
①-②得，-2Sn=3+32+33+…+3n-n•3n+1=
化简得，
已知数列{an} 是通项an和公差都不为零的等差数列，设Sn=
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵
∴Sn=
=
=
=
=
=
故选：A
已知等差数列{an}满足a1=3，a4+a5+a6=45．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{
正确答案
解：（Ⅰ）∵a4+a5+a6=45，
∴3a5=45，a5=15，
∵a1=3，
∴d=
∴an=3n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）an=3n，an+1=3（n+1），
则
∴Tn=
解析
解：（Ⅰ）∵a4+a5+a6=45，
∴3a5=45，a5=15，
∵a1=3，
∴d=
∴an=3n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）an=3n，an+1=3（n+1），
则
∴Tn=
已知n∈N+，若对任意实数x都有xn=a0+a1（x-n）+a2（x-n）2+…+an（x-n）n+则an-1的值为（ ）
An2
Bnn
C
D
正确答案
解析
解：∵xn=a0+a1（x-n）+a2（x-n）2+…+an（x-n）n
∴xn=（n+x-n）n
由通项公式得：
Tn=Cnn-1n（x-n）n-1
∴an-1=Cnn-1n=n2
故选A
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