- 数列前n项和
- 共2492题
已知数列{an}满足a1=1，an+1•an=2n（n∈N*），则S2012=（ ）
正确答案
解析
解：∵
∴令n=1，求得a2=2
∵anan+1=2n，
∴n≥2时，anan-1=2n-1，
∴
∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列；
∴S2012=
故选B．
已知数列{an}中，a1=2，当n≥2时，an-an-1=n+1，则a99=______．
正确答案
5049
解析
解：由题意知，当n≥2时，an-an-1=n+1，
所以a2-a1=3，a3-a2=4，a4-a3=5，…，a99-a98=100，
上述各式相加得：a99-a1=3+4+5+…+100，
又a1=2，则a99=2+3+4+5+…+100=
故答案为：5049．
思路点拨由递推公式相加易得a99=2+3+4+5+…+100=5049．
已知a1=1数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1-（n+3）Sn=0
（1）求an（ 2 ）
正确答案
解析
解：（1）∵nSn+1-（n+3）Sn=0，即nan+1=3Sn①
∴（n-1）an=3Sn-1（n≥2）②
①-②得nan+1=（n+2）an（n≥2）
∴an=
=
a1=1也适合上式，
∴an=
（2）bn=
∴Tn=2（1-
=
数列{an}与{bn}中，an=n2+2n，bn•an=2，则b1+b2+…+b18=______．
正确答案
解析
解：∵an=n2+2n，bn•an=2，
∴bn=
则b1+b2+…+b18=
=1+
=
故答案为：
已知在等差数列{an}中，a2=3，a6=11，记数列{
正确答案
解析
解：设等差数列{an}的公差为的，∵a2=3，a6=11，
∴
∴an=1+2（n-1）=2n-1．
∴
其前n项和为Sn=
=
=
∵Sn≤
∴
∵
∴m≥5．
则正整数m的最小值为5．
故选：A．
数列{an}是1，（1+
正确答案
2n-2+
解析
解：∵an=1+
等比数列
∴其前n项和Sn=2n-2+
故答案为：2n-2+
已知数列{an}中，
正确答案
解析
解：因为
所以an是一个等比数列的前n项和，所以
所以
所以答案为
已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{|an|}的前n项和Tn．
正确答案
解：（1）当n=1时，a1=S1=12×1-12=11；…（1分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（12n-n2）-[12（n-1）-（n-1）2]=13-2n．…（3分）
n=1时，a1=11也符合13-2n的形式．
所以，数列{an}的通项公式为an=13-2n．…（4分）
（2）令an=13-2n≥0，又n∈N*，解得n≤6．…（5分）
当n≤6时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=12n-n2；…（8分）
当n＞6时，Tn=|a1|+|a2|+…+|a6|+|a7|+…+|an|=a1+a2+…+a6-a7-a8-…-an=2S6-Sn=2×（12×6-62）-（12n-n2）
=n2-12n+72．…（11分）
综上，
解析
解：（1）当n=1时，a1=S1=12×1-12=11；…（1分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（12n-n2）-[12（n-1）-（n-1）2]=13-2n．…（3分）
n=1时，a1=11也符合13-2n的形式．
所以，数列{an}的通项公式为an=13-2n．…（4分）
（2）令an=13-2n≥0，又n∈N*，解得n≤6．…（5分）
当n≤6时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=12n-n2；…（8分）
当n＞6时，Tn=|a1|+|a2|+…+|a6|+|a7|+…+|an|=a1+a2+…+a6-a7-a8-…-an=2S6-Sn=2×（12×6-62）-（12n-n2）
=n2-12n+72．…（11分）
综上，
在无穷数列{an}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有an∈N*，an＜an+1．设m∈N*，记使得an≤m成立的n最大值为bm．
（Ⅰ）设数列为1，3，5，7，…，写出b1，b2，b3的值；
（Ⅱ）若{bn}为等差数列，求出所有可能的数列{an}；
（Ⅲ）设ap=q，a1+a2+…+ap=A，求b1+b2+…+bq的值．（用p，q，A表示）
正确答案
解：（Ⅰ）an≤1，则b1=1，an≤2，则b2=1，an≤3，则b3=3．
（Ⅱ）由题意，得1=a1＜a2＜…＜an＜…，得an≥n．
又∵使得an≤m成立的n的最大值为bm，使得an≤m+1成立的n的最大值为bm+1，
∴b1=1，bm≤bm+1．
设a2=k，则k≥2．
假设k＞2，即a2=k＞2，
则当n≥2时，an＞2；当n≥3时，an≥k+1．
∴b2=1，bk=2．
∵{bn}为等差数列，
∴公差d=b2-b1=0，
∴bn=1，．
这与bk=2（k＞2）矛盾，
∴a2=2．
又∵a1＜a2＜…＜an＜…，
∴b2=2，
由{bn}为等差数列，得bn=n．
因为使得使得an≤m成立的n的最大值为bm，
∴an≤n，由an≥n，得an=n
（Ⅲ）设a2=k（k＞1）
∵a1＜a2＜…＜an＜…，
∴b1=b2=…bk-1=1且bk=2，
∴数列{bn}中等于1的项有（k-1）个，即（a2-a1）个，
设a3=l，（l＞k）
则bk=bk+1=…bl-1=2，且bl=3，
∴数列{bn}中等于2的项有（l-k）个，即（a3-a2）个，
…
以此类推：数列{bn}中等于p-1的项有（ap-aq）个
∴b1+b2+…+bq=（a2-a1）+2（a3-a2）+…（p-1）（ap-ap-1）+p
=-a1-a2-…-ap+（p-1）ap+p
=pap+p-（a1+a2+…+ap）
=p（q+1）-A
即：b1+b2+…+=p（q+1）-A．
解析
解：（Ⅰ）an≤1，则b1=1，an≤2，则b2=1，an≤3，则b3=3．
（Ⅱ）由题意，得1=a1＜a2＜…＜an＜…，得an≥n．
又∵使得an≤m成立的n的最大值为bm，使得an≤m+1成立的n的最大值为bm+1，
∴b1=1，bm≤bm+1．
设a2=k，则k≥2．
假设k＞2，即a2=k＞2，
则当n≥2时，an＞2；当n≥3时，an≥k+1．
∴b2=1，bk=2．
∵{bn}为等差数列，
∴公差d=b2-b1=0，
∴bn=1，．
这与bk=2（k＞2）矛盾，
∴a2=2．
又∵a1＜a2＜…＜an＜…，
∴b2=2，
由{bn}为等差数列，得bn=n．
因为使得使得an≤m成立的n的最大值为bm，
∴an≤n，由an≥n，得an=n
（Ⅲ）设a2=k（k＞1）
∵a1＜a2＜…＜an＜…，
∴b1=b2=…bk-1=1且bk=2，
∴数列{bn}中等于1的项有（k-1）个，即（a2-a1）个，
设a3=l，（l＞k）
则bk=bk+1=…bl-1=2，且bl=3，
∴数列{bn}中等于2的项有（l-k）个，即（a3-a2）个，
…
以此类推：数列{bn}中等于p-1的项有（ap-aq）个
∴b1+b2+…+bq=（a2-a1）+2（a3-a2）+…（p-1）（ap-ap-1）+p
=-a1-a2-…-ap+（p-1）ap+p
=pap+p-（a1+a2+…+ap）
=p（q+1）-A
即：b1+b2+…+=p（q+1）-A．
在数列{an}中，a1=2，当an为偶数时，an+1=
正确答案
4700
解析
解：依题意，a1=2，
a2=
a3=3×1+1=4，
a4=
a5=
a6=3×1+1=4，
a7=
∴数列{an}为周期为3的周期数列，
∵2015=3×671+2，
∴S2015=（2+1+4）×671+2+1=4700．
故答案为：4700．
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