- 数列前n项和
- 共2492题
已知数列{an}满足a1=1，an+an-1=2n-1，n≥2，且n∈N+，则数列{
ASn=1-
BSn=2-
CSn=n（1-
DSn=2-
正确答案
解析
解：由a1=1，an+an-1=2n-1，n≥2，得
a2=2，a3=3，a4=4，…
由此猜测an=n．
下面利用首项归纳法证明：
a1=1符合；
假设n=k时成立，即ak=k，
那么，当n=k+1时，ak+1+ak=2（k+1）-1=2k+1，
则ak+1=2k+1-k=k+1，
∴当n=k+1时结论成立．
综上，an=n．
设数列{
则
①-②得
∴Sn=2-
故选：B．
1+2+22+…+29的值为（ ）
正确答案
解析
解：1+2+22+…+29可看作首项为1，公比为2的等比数列前9项和，
由公式得S9=
对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2]=2，[3.2]=3．那么[log21]+[log22]+[log23]+…+[log264]=______．
正确答案
264
解析
解：由于[log21]=[0]=0，有1个0
[log22]=[log23]=1．有2个1
[log24]=[log25]=[log26]=[log27]=2．有4个2
…
[log232]=[log233]=…=[log263]=5，有32个5
[log264]=6，有1个6
∴[log21]+[log22]+[log23]+…+[log264]=0+1×2+2×4+8×3+16×4+32×5+6×1=264
故答案为：264
数列{an}的前n项和Sn=n2+1，数列{bn}满足：b1=1，当n≥2时，bn=abn-1，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T5=______．
正确答案
20
解析
解：∵数列{an}的前n项和Sn=n2+1
∴当n=1时，a1=S1=2
当n≥2时，an=sn-sn-1=n2+1-（n-1）2-1=2n-1
∴an=
∵当n≥2时，bn=abn-1若bn-1=1，则bn=a1=2（舍）；
若bn-1≠1，则bn=abn-1=2bn-1-1，∴bn-1=2（bn-1-1）
∴当n≥2时，数列{bn-1}是等比数列，b2=ab1=a1=2，
∴bn-1=1×2n-2（n≥2）
即bn=
∴T5=1+2+3+5+9=20
故答案为：20
已知函数
（1）求函数f（x）的单调区间，并求值域；
（2）证明{x|f（x）=x}={x|f（f（x））=x}；
（3）对一切正整数n，证明：①an+1＜an；②Sn＜1．
正确答案
解：（1）函数f（x）的定义域为R，
由f‘（x）＞0，得0＜x＜2，由f'（x）＜0，得x＜0或x＞2．
函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（-∞，0）和（2，+∞）．
当x=0时，f（0）=0；
当x≠0时，
∴函数f（x）的值域为
（2）设A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}，
①当x≥0时，∵
当且仅当x=0，1时，f（x）=x．
∴A={0，1}；
②令t=f（x），当且仅当x=1时，t=f（x）=1．
当x＜0时，由（1）f（f（x））=f（t）＞0，
∴当x＜0时，f（f（x））=x无解；
当0＜x≠1时，由①知f（f（x））=f（t）＜t=f（x）＜x，
∴当0＜x≠1时，f（f（x））=x无解．
综上，除x=0，1外，方程f（f（x））=x无解，
∴B={0，1}，
∴A=B．
∴{x|f（x）=x}={x|f（f（x））=x}．
（3）显然
又
∴an+1≤an．
若an+1=an，则an=1矛盾．
∴an+1＜an．
∵
∴
∴
∴
∵
∴
解析
解：（1）函数f（x）的定义域为R，
由f‘（x）＞0，得0＜x＜2，由f'（x）＜0，得x＜0或x＞2．
函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（-∞，0）和（2，+∞）．
当x=0时，f（0）=0；
当x≠0时，
∴函数f（x）的值域为
（2）设A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}，
①当x≥0时，∵
当且仅当x=0，1时，f（x）=x．
∴A={0，1}；
②令t=f（x），当且仅当x=1时，t=f（x）=1．
当x＜0时，由（1）f（f（x））=f（t）＞0，
∴当x＜0时，f（f（x））=x无解；
当0＜x≠1时，由①知f（f（x））=f（t）＜t=f（x）＜x，
∴当0＜x≠1时，f（f（x））=x无解．
综上，除x=0，1外，方程f（f（x））=x无解，
∴B={0，1}，
∴A=B．
∴{x|f（x）=x}={x|f（f（x））=x}．
（3）显然
又
∴an+1≤an．
若an+1=an，则an=1矛盾．
∴an+1＜an．
∵
∴
∴
∴
∵
∴
等比数列{an}中，a2=2，a4=8，an＞0，则数列{log2an}的前n项和为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设等比数列{an}的公比为q．
∵a2=2，a4=8，an＞0，
∴a1q=2，
解得q=2，a1=1．
∴
∴数列{log2an}的前n项和=log2a1+log2a2+…+log2an
=
=
=
故选：A．
数列{1+2n-1}的前n项的和为（ ）
正确答案
解析
解：前n项的和为Sn=（1+1+…+1）+（1+2+4+…+2n-1）
=n+
故选：C．
已知定义在（0，1）上的函数f（x），对任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n时，都有
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵
∴
∴a1+a2+…a8=
=f（
故选C
数列
正确答案
解析
解：∵
∴
=
=
故答案为：
二次函数y=n（n+1）x2-（2n+1）x+1，当n依次取1，2，3，4，…，n，…时，图象在x轴上截得的线段的长度的总和为（ ）
正确答案
解析
解：二次函数y=n（n+1）x2-（2n+1）x+1在x轴上的截距为dn=
∴d1+d2+…+dn=1-
总和约为1．
故选A．
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