热门试卷

解：（Ⅰ）因为a1=b1，所以a=a+1+b，b=-1，（1分）

由a2＜b2，得a2-2a-1＜0，

所以，（3分）

因为a≥2且a∈N*，所以a=2，（4分）

所以bn=3n-1，{bn}是等差数列，

所以数列{bn}的前n项和．（5分）

（Ⅱ）由已知，假设，，成等比数列，其中m，n，t∈N*，且彼此不等，

则，（6分）

所以，

所以，

若m+t-2n=0，则3n2-3mt=0，可得m=t，与m≠t矛盾；（7分）

若m+t-2n≠0，则m+t-2n为非零整数，为无理数，

所以3n2-3mt为无理数，与3n2-3mt是整数矛盾．（9分）

所以数列{bn}中的任意三项都不能构成等比数列．

（Ⅲ）设存在实数b∈[1，a]，使C=A∩B≠∅，

设m0∈C，则m0∈A，且m0∈B，

设m0=at（t∈N*），m0=（a+1）s+b（s∈N*），

则at=（a+1）s+b，所以，

因为a，t，s∈N*，且a≥2，所以at-b能被a+1整除．（10分）

（1）当t=1时，因为b∈[1，a]，a-b∈[0，a-1]，

所以；（11分）

（2）当t=2n（n∈N*）时，a2n-b=[（a+1）-1]2n-b=（a+1）2n+-C2n1（a+1）+1-b，

由于b∈[1，a]，所以b-1∈[0，a-1]，0≤b-1＜a+1，

所以，当且仅当b=1时，at-b能被a+1整除．（12分）

（3）当t=2n+1（n∈N*）时，a2n+1-b=[（a+1）-1]2n+1-b=（a+1）2n+1++C2n+11（a+1）-1-b，

由于b∈[1，a]，所以b+1∈[2，a+1]，

所以，当且仅当b+1=a+1，即b=a时，at-b能被a+1整除．（13分）

综上，在区间[1，a]上存在实数b，使C=A∩B≠∅成立，且当b=1时，C={y|y=a2n，n∈N*}；当b=a时，C={y|y=a2n+1，n∈N}．

解：（Ⅰ）因为Sn=-，

当n≥2时，Sn-1=-，

两式相减得：an=3n，

因为a1=S1=3也满足．

综上，an=3n（n∈N*）；

（Ⅱ）bn=an•log3an=3n•n，

则数列{bn}的前n项和Tn=1•3+2•9+3•27+…+3n•n，

3Tn=1•9+2•27+3•81+…+3n+1•n，

两式相减得：-2Tn=3+9+27+…+3n-3n+1•n

=-3n+1•n，

化简得：Tn=．