热门试卷

解：由各项为正的等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=30，

过点P（n，log2an）和Q（n+2，log2an+1）（n∈N*）的直线的斜率为1，

可得，

解得a1=，q=4，

则an=•4n-1．an+12=an+2an，

=16，log2an+2-log2an=4，log2an+2+log2an=2log2an+1，

可得bn==（-），

则有前n项和Tn=（-+-+-

+…+-+-）

=（（+--）

=（+--）．

故答案为：（+--）．

解：由N（x）的性质可得知，当x是奇数时，x的最大奇数因子明显是它本身．因此N（x）=x，当x是偶数时，可将Sn进行分解，分别算出奇数项的和与偶数项的和进而相加，即Sn=S奇+S偶，

∴S奇=N（1）+N（3）+…+N（2n-1）=1+3+…2n-1==4n-1，

当x是偶数时，且x∈[2k，2k+1），

①当k=1时，x∈[2，4）该区间包含的偶数只有2，而N（2）=1所以该区间所有的偶数的最大奇因数之和为T1=1，

②当k=2时，x∈[4，8），该区间包含的偶数为4，6，所以该区间所有的最大奇因数偶数之和为T2=1+3=4，

③当k=3时，x∈[8，16），该区间包含的偶数为8，10．，12，14，则该区间所有偶数的最大奇因数之和为T3=1+3+5+7=16，

因此我们可以用数学归纳法得出当x∈[2k，2k+1）该区间所有偶数的最大奇因数和Tk=4k-1．

∴对k从1到n-1求和得T1+T2+…+Tn-1=，

∴S偶=T1+T2+…+Tn-1+N（2n）=

综上可知Sn=S奇+S偶=4n-1+=．

∴Sn-Sn-1=-=4n-1．

∴数列{Sn-Sn-1}（n≥2）的前n项和Rn=（Sn-Sn-1）+（Sn-1-Sn-2）+…+（S2-S1）

=4n-1+4n-2+…+4

=

=．

故答案为：Rn=．

解：（1）∵函数f（x）在定义域内有且只有一个零点，

∴△=a2-4a=0，解得a=0或a=4．

当a=0时，函数f（x）=x2在（0，+∞）上递增，

故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．

综上，得a=4，f（x）=x2-4x+4，

∴Sn=n2-4n+4，

当n=1时，a1=S1=1；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-4n+4-[（n-1）2-4（n-1）+4]=2n-5．

∴an=．

（2）由题设cn=，

当n≥3时，cn+1-cn=-=＞0，

∴当n≥3时，数列列{cn}递增，c4=-＜0，

由＞0，解得n≥5．

可知a4a5＜0．

即n≥3时，有且只有1个变号数；

又c1=-3，c2=5，c3=-3，

即c1c2＜0，c2c3＜0，

∴此处变号数有2个．

综上可得：数列{cn}共有3个变号数，即变号数为3．

故答案为：3．

解：依题意可知，anan+1an+2=an+an+1+an+2，an-1anan+1=an-1+an+an+1，

两式相减得anan+1（an+2-an-1）=an+2-an-1，

∵an•an+1≠1，

∴an+2-an-1=0，即an+3=an，

∴数列{an}是以3为周期的数列，

∵a1a2a3=a1+a2+a3，a1=1，a2=2，∴a3=3

∴S100=33×（1+2+3）+1=199

故答案为：199．

解：

=

==．

故答案：．