数列前n项和_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n+1，则a3+a4+a5=（　　）

A11

B16

C27

D32

正确答案

C

解析

解：∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+2n+1，

∴a3+a4+a5=S5-S2=（52+2×5+1）-（22+2×2+1）=27，

故选：C

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•兰州月考）已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足，且f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），，若cn=，则数列{ncn}的前n项和Sn=______．

正确答案

解析

解：∵，∴=a，=，

因此，即a+=．

解之得a=3或．

设F（x）=，则F‘（x）=，

∵f'（x）g（x）＞f（x）g'（x），

∴F'（x）＞0在R上成立，故F（x）是R上的增函数．

即y=ax是R上的增函数，故a＞1．则有a=3．

cn==3n，ncn=n•3n，

则前n项和Sn=1•3+2•32+3•33+…+n•3n，

3Sn=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，

两式相减可得，-2Sn=3+32+33+…+3n-n•3n+1

=-n•3n+1，

化简可得Sn=．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

设数列{an}，{an2}（n∈N*）都是等差数列，若a1=3，则a1+a22+a33=______．

正确答案

39

解析

解：设数列{an}的公差是d，

∵{an2}（n∈N*）也是等差数列，且a1=3，

∴2a22=a12+a32，

即2（3+d）2=9+（3+2d）2，

化简得，2d2=0，则d=0，

∴数列{an}、{an2}（n∈N*）都是各项为常数的等差数列，

则a1+a22+a33=3+9+27=39，

故答案为：39．

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题型：填空题

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填空题

已知数列{an}的各项均为正整数，Sn为其前n项和，对于n=1，2，3，…，有an+1=．当a1=1时，S1+S2+…+S20=______．

正确答案

230

解析

解：∵a1=1，∴a2=3a1+5=8，a3==，取k=1，2时，a3为偶数，应舍去；当k=3时，a3=1．

∴a4=3a3+5=8．

…．

∴数列{an}是奇数项组成以常数1为项的常数列，偶数项是以常数8为项的常数列．

∴S2k=k×1+k×8=9k，S2k-1=S2k-8，

∴S2+S4+…+S10=9×（1+2+…+5）=135．

∴S1+S3+…+S9=（S2-8）+（S4-8）+…+（S10-8）=135-8×5=95．

∴S1+S2+…+S20=135+95=230．

故答案为230．

1

题型：填空题

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填空题

已知数列{an}的前n项的和Sn满足log2（Sn+1）=n，则an=______．

正确答案

2n-1

解析

解：由log2（Sn+1）=n得Sn+1=2n，∴Sn=2n-1，

∴a1=S1=2-1=1，an=Sn-Sn-1=（2n-1）-（2n-1-1）=2n-2n-1=2n-1；

∴an=2n-1．

2n-1；

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题型：简答题

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简答题

已知等差数列{an}的首项为a，公差为d，且不等式ax2-3x+2＜0的解集为（1，d）．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；

（Ⅱ）若bn=3an+an，求数列{bn}前n项和Tn．

正确答案

解：（Ⅰ）∵不等式ax2-3x+2＜0的解集为（1，d），

∴1，d是一元二次方程ax2-3x+2=0的两根，a≠0，

由韦达定理得，解得a=1，d=2，

∴an=1+（n-1）×2=2n-1．（6分）

（II）∵bn=3an+an，an=2n-1，∴，

∴

=（3+33+…+32n-1）+（1+3+…+2n-1）

=+

=．（12分）

解析

解：（Ⅰ）∵不等式ax2-3x+2＜0的解集为（1，d），

∴1，d是一元二次方程ax2-3x+2=0的两根，a≠0，

由韦达定理得，解得a=1，d=2，

∴an=1+（n-1）×2=2n-1．（6分）

（II）∵bn=3an+an，an=2n-1，∴，

∴

=（3+33+…+32n-1）+（1+3+…+2n-1）

=+

=．（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}是正数等差数列，其中a1=1，且a2、a4、a6+2成等比数列；数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn+bn=1．

（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（Ⅱ）如果cn=anbn，设数列{cn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得Tn＞Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．

正确答案

（本题满分13分）

解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，

∵a1=1，且a2、a4、a6+2成等比数列，

∴依条件有，

即，解得（舍）或d=1，

所以an=a1+（n-1）d=1+（n-1）=n．…（2分）

由2Sn+bn=1，得，

当n=1时，2S1+b1=1，解得，

当n≥2时，，

所以，

所以数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，

故．…（5分）

（2）由（1）知，，

所以①

②

得．…（9分）

又．

所以，

当n=1时，T1=S1，

当n≥2时，，所以Tn＞Sn，

故所求的正整数n存在，其最小值是2．…（13分）

解析

（本题满分13分）

解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，

∵a1=1，且a2、a4、a6+2成等比数列，

∴依条件有，

即，解得（舍）或d=1，

所以an=a1+（n-1）d=1+（n-1）=n．…（2分）

由2Sn+bn=1，得，

当n=1时，2S1+b1=1，解得，

当n≥2时，，

所以，

所以数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，

故．…（5分）

（2）由（1）知，，

所以①

②

得．…（9分）

又．

所以，

当n=1时，T1=S1，

当n≥2时，，所以Tn＞Sn，

故所求的正整数n存在，其最小值是2．…（13分）

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题型：填空题

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填空题

若an=1++…+．，bn=n，n∈N*，则b1（a2012-a1）+b2（a2012-a2）+b3（a2012-a3）+…+b2011（a2012-a2011）=______．

正确答案

1011533

解析

解：∵an=1++…+．，bn=n，n∈N*，

则b1（a2-a1）=，

b1（a3-a1）+b2（a3-a2）=，

b1（a4-a1）+b2（a4-a2）+b3（a4-a3）=，

…，

依此类推可得：b1（a2012-a1）+b2（a2012-a2）+b3（a2012-a3）+…+b2011（a2012-a2011）

=+…+

=+++…+

==1011533．

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题型：填空题

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填空题

已知非零向量序列：满足如下条件：||=2，•=-，且=（n=2，3，4，…，n∈N*），Sn=，当Sn最大时，n=______．

正确答案

8或9

解析

解：∵=，

∴向量为首项为，公差为的等差数列，

则=+（n-1），

则•=•[+（n-1）]=2+（n-1）•=4（n-1）=，

由•=≥0，

解得n≤9，

即当n=9时，•=0，

则当n=8或9时，Sn最大，

故答案为：8或9．

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题型：填空题

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填空题

已知递增的等比数列{an}前三项之积为8，且这三项分别加上1、2、2后又成等差数列．

（1）求等比数列{an}的通项公式；

（2）记bn=an+2n，求数列{bn}的前n项和Tn．

正确答案

解析

解：（1）设等比数列前三项分别为a1，a2，a3，

则a1+1、a2+2、a3+2又成等差数列．依题意得：，

即，

解之得，或（数列{an}为递增等比数列，舍去），

∴数列{an}的通项公式：．

（2）由bn=an+2n得，，

∴Tn=b1+b2+…+bn=（20+2×1）+（21+2×2）+（22+2×3）+…+（2n-1+2n）

=（20+21+22+…+2n-1）+2（1+2+3+…+n）

=．

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