数列前n项和_章节学习

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•天水校级期末）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=-2，Sn=2an+2，则an=______．

正确答案

-2n

解析

解：∵Sn=2an+2，

∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an+2-（2an-1+2），

∴an=2an-1，

∴数列{an}是等比数列，公比为2，首项为-2．

∴an=-2×2n-1=-2n．

故答案为：-2n．

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题型：填空题

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填空题

数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+an=3n-1，则=______．

正确答案

解析

解：设数列{an}的前n项和为Sn，则，当n≥2时，．

∴an=Sn-Sn-1=3n-1-（3n-1-1）=2×3n-1，当n=1时也成立．

∴=（2×3n-1）2=4×9n-1．

∴=4（90+91+…+9n-1）==．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=20，S3=36，则+…+=______．

正确答案

解析

解：∵a3=a1+2d=20，S3=3a1+3d=36

∴d=8，a1=4

∴

而=

则+…+

=

==

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}的前n项和为Sn=3n，数列{bn}满足b1=-1，bn+1=bn+（2n-1）（ n∈N*）．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；

（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式bn；

（Ⅲ）若cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．

正确答案

解：（Ⅰ）∵Sn=3n，

∴Sn-1=3n-1（n≥2）．

∴an=Sn-sn=3n-3n-1=2•3n-1（n≥2）．

当n=1时，2•30=2≠S1=3，

∴ （4分）

（Ⅱ）∵bn+1=bn+（2n-1）

∴b2-b1=1，

b3-b2=3，

b4-b3=5，

…

bn-bn-1=2n-3，

以上各式相加得

bn-b1=1+3+5+…+（2n-3）==（n-1）2

∵b1=-1，∴bn=n2-2n．（9分）

（Ⅲ）由题意得

当n≥2时，

Tn=-3+2•0×3+2•1×32+…+2（n-2）×3n-13Tn=-9+2•0×32+2•1×33+2•2×34+…+2（n-2）×3n

相减得：-2Tn=（n-2）×3n-（3+32+33+…+3n-1）

Tn=（n-2）×3n-（3+32+33+…+3n-1）=

=

解析

解：（Ⅰ）∵Sn=3n，

∴Sn-1=3n-1（n≥2）．

∴an=Sn-sn=3n-3n-1=2•3n-1（n≥2）．

当n=1时，2•30=2≠S1=3，

∴ （4分）

（Ⅱ）∵bn+1=bn+（2n-1）

∴b2-b1=1，

b3-b2=3，

b4-b3=5，

…

bn-bn-1=2n-3，

以上各式相加得

bn-b1=1+3+5+…+（2n-3）==（n-1）2

∵b1=-1，∴bn=n2-2n．（9分）

（Ⅲ）由题意得

当n≥2时，

Tn=-3+2•0×3+2•1×32+…+2（n-2）×3n-13Tn=-9+2•0×32+2•1×33+2•2×34+…+2（n-2）×3n

相减得：-2Tn=（n-2）×3n-（3+32+33+…+3n-1）

Tn=（n-2）×3n-（3+32+33+…+3n-1）=

=

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题型：简答题

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简答题

必做题：（本小题满分10分，请在答题指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

已知an（n∈N*）是二项式（2+x）n的展开式中x的一次项的系数．

（Ⅰ）求an；

（Ⅱ）是否存在等差数列{bn}，使an=b1cn1+b2cn2+b3cn3+…+bncnn对一切正整数n都成立？并证明你的结论．

正确答案

解：（I）∵（（2+x）n的展开式的通项为：Tr+1=Cnr2n-rxr（r=0，1，2…n）

令r=1可得an=Cnr2n-r=n•2n-1

（II）若存在等差数列{bn}，满足已知条件

则当n=1时，b1=a1=1

当n=2时，a2=b1C21+b2C22即4=4=2+b2，所以b2=2

当n=3时，a3=b1C31+b2C32+b3C33即12=3+6+b3，所以b3=3

由上述结果，猜想bn=n

下面证明：当bn=n时，an=b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn对一切正整数n都成立

即证n•2n-1=Cn1+2Cn2+…+nCnn成立

（法一）设S=Cn1+2Cn2+…+nCnn

S=nCnn+（n-1）Cnn-1+…+Cn1

则2S=nCn0+nCn1+…+nCnn=n（Cn0+Cn1+…+Cnn）=n•2n

∴S=n•2n-1

即n•2n-1=Cn1+2Cn2+…+nCnn成立

（法二）∵kCnk====nCn-1k-1

∴Cn1+2Cn2+…+nCnn=n（Cn-10+Cn-11+…+Cn-1n-1）=n•2n-1

综上可得，存在等差数列bn=n满足已知条件．

解析

解：（I）∵（（2+x）n的展开式的通项为：Tr+1=Cnr2n-rxr（r=0，1，2…n）

令r=1可得an=Cnr2n-r=n•2n-1

（II）若存在等差数列{bn}，满足已知条件

则当n=1时，b1=a1=1

当n=2时，a2=b1C21+b2C22即4=4=2+b2，所以b2=2

当n=3时，a3=b1C31+b2C32+b3C33即12=3+6+b3，所以b3=3

由上述结果，猜想bn=n

下面证明：当bn=n时，an=b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn对一切正整数n都成立

即证n•2n-1=Cn1+2Cn2+…+nCnn成立

（法一）设S=Cn1+2Cn2+…+nCnn

S=nCnn+（n-1）Cnn-1+…+Cn1

则2S=nCn0+nCn1+…+nCnn=n（Cn0+Cn1+…+Cnn）=n•2n

∴S=n•2n-1

即n•2n-1=Cn1+2Cn2+…+nCnn成立

（法二）∵kCnk====nCn-1k-1

∴Cn1+2Cn2+…+nCnn=n（Cn-10+Cn-11+…+Cn-1n-1）=n•2n-1

综上可得，存在等差数列bn=n满足已知条件．

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题型：单选题

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单选题

无穷等比数列{an}各项均为正数，a1，a5∈{1，16}，且S3＞25．则该数列所有项的和为（　　）

A-1

B16

C32

D可能不存在

正确答案

C

解析

解：因为无穷等比数列{an}各项均为正数，a1，a5∈{1，16}，且S3＞25．

要求该数列所有项的和，所以公比∈（0，1），

所以a1=16，a5=1，

所以=，满足S3=16+8+4=28＞25，所以==32．

故选C．

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题型：填空题

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填空题

数列{2n•（-1）n}的前2015项和是______．

正确答案

-2016

解析

解：数列{2n•（-1）n}的前2015项和=2[（-1+2）+（-3+4）+…+（-2013+2014）-2015]

=2（1007-2015）

=-2016．

故答案为：-2016．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=，若数列{an}（n∈N*）满足：a1=1，an+1=f（an）

（1）设bn=，求证数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）设数列{cn}满足：cn=，求数列{cn}的前n项的和Sn．

正确答案

（1）证明：∵数f（x）=，数列{an}（n∈N*）满足：a1=1，an+1=f（an），

∴an+1=，∴，

∴bn===1+，

∴bn-bn-1==1，

∴数列{bn}是等差数列．

（2）解：由（1）知=1，a1=1，

∴{}是首项为1，公差为1的等差数列，

∴=n，∴．

（3）解：∵，cn=，∴，

∴Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①

2Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②

①-②，得：-Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1

=-n•2n+1

=-2-（n-1）•2n+1，

∴．

解析

（1）证明：∵数f（x）=，数列{an}（n∈N*）满足：a1=1，an+1=f（an），

∴an+1=，∴，

∴bn===1+，

∴bn-bn-1==1，

∴数列{bn}是等差数列．

（2）解：由（1）知=1，a1=1，

∴{}是首项为1，公差为1的等差数列，

∴=n，∴．

（3）解：∵，cn=，∴，

∴Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①

2Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②

①-②，得：-Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1

=-n•2n+1

=-2-（n-1）•2n+1，

∴．

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题型：填空题

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填空题

定义：我们把满足an+an-1=k（n≥2，k是常数）的数列叫做等和数列，常数k叫做数列的公和．若等和数列{an}的首项为1，公和为3，则该数列前2010项的和S2010=______．

正确答案

3015

解析

解：令n=2，n=4，…，n=2010分别得到a2+a1=3，a4+a3=3，…，a2010+a2009=3，

所以S2010=×3=3015．

故答案为3015

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题型：单选题

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单选题

数列1，a，a2…（a≠0，a≠1）的各项之和为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：∵数列1，a，a2…（a≠0，a≠1）是首项为1，公比为a的等比数列，

∴数列1，a，a2…（a≠0，a≠1）的各项之和=，

故选：B．

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