- 数列前n项和
- 共2492题
已知数列{
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{anan+1}的前n项和为Tn．证明：
正确答案
解：（Ⅰ）由已知列{
∴
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
∴Tn=a1a2+a2a3+…anan+1
=
∴
∴
∴
解析
解：（Ⅰ）由已知列{
∴
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
∴Tn=a1a2+a2a3+…anan+1
=
∴
∴
∴
已知数列{an}满足
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）求证：数列{an-2}是等比数列；
（3）求an，并求{an}前n项和Sn．
正确答案
解：（1）∵数列{an}满足
∴
（2）∵
又a1-2=-1，
∴数列{an-2}是以-1为首项，
（注：文字叙述不全扣1分）
（3）由（2）得
∴
解析
解：（1）∵数列{an}满足
∴
（2）∵
又a1-2=-1，
∴数列{an-2}是以-1为首项，
（注：文字叙述不全扣1分）
（3）由（2）得
∴
数列{an}中，a1=1，an，an+1是方程
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意可得an+an+1=2n+1
∴an=n
∵
Sn=b1+b2+…+bn
=
=
故选B．
在数列{an} 中，已知a1=
（Ⅰ）求数列{an} 的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{bn} 是等差数列；
（Ⅲ）设数列{cn} 满足cn=an•bn，求{cn} 的前n项和Sn．
正确答案
解析
（Ⅰ）解：∵a1=
∴数列{an}是首项为
∴
（Ⅱ）证明：∵bn+2=3
∴
∴b1=1，公差d=3，
∴数列{bn}是首项b1=1，公差d=3的等差数列．
（Ⅲ）解：∵
∴
∴
①-②，得
=
∴
把数列{2n+1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数…循环下去，如：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），…，则第14个括号内的各数字之和______．
正确答案
2772
解析
解：设第n个数为an=2n+1
前面13个括号中共用了1+2+…+13=91个数，
而a92=2×92+1=185
第14个括号内的数字构成185为首项，以2为公差的等差数列，且有14项
S=185×
故答案为：2772
数列{an}的通项公式
正确答案
解析
解：∵an=
∴Sn=（
=
又Sn=10，
∴
∴n+1=112=121，
∴n=120．
故选C．
已知等比数列{an}中，若P=a1•a2•a3…an，S=a1+a2+a3+…+an，S1=
AP=（SS1）
BP=
CP=（SS1）
DP=
正确答案
解析
解：设等比数列{an}的公比为q，
则P=a1•a2•a3…an=a1•a1q•a1q2•…•a1qn-1
=a1nq1+2+3+…+n-1=a1n
S=a1+a2+a3+…+an=
S1=
若q=1，则P=a1n，
若q≠1，则P═a1n
则有P=
故选B．
数列
正确答案
解析
解：由题意，数列中项为
∵1+2+3+4+…+13=
∴第91项为
∴数列的前100项的和等于13+
故答案为：
已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式：
（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an=
（Ⅲ）设Tn为数列{nsn}的前n项和，求Tn．
正确答案
解：（1）解：设等差数列an的公差为d，则依题设d＞0
由a2+a7=16．得2a1+7d=16①
由a3•a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55②
由①得2a1=16-7d将其代入②得（16-3d）（16+3d）=220．
即256-9d2=220
∴d2=4，又d＞0，∴d=2，代入①得a1=1
∴an=1+（n-1）•2=2n-1
（2）令
两式相减得
an+1-an=cn+1，由（1）得a1=1，an+1-an=2
∴cn+1=2，cn=2（n≥2），即当n≥2时，bn=2n+1
又当n=1时，b1=2a1=2
∴
于是Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+23+24+…+2n+1
=2+22+23+24+…+2n+1-4=
（3）数列{n•2n+2}的前n项和为T1=（n-1）•2n+3+8（12分）
数列{6n}的前n项和为T2=3n2+3n（13分）
所以，数列{n•2n+2-6n}的前n项和为T1-T2=（n-1）•2n+3+8-3n2-3n（14分）
解析
解：（1）解：设等差数列an的公差为d，则依题设d＞0
由a2+a7=16．得2a1+7d=16①
由a3•a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55②
由①得2a1=16-7d将其代入②得（16-3d）（16+3d）=220．
即256-9d2=220
∴d2=4，又d＞0，∴d=2，代入①得a1=1
∴an=1+（n-1）•2=2n-1
（2）令
两式相减得
an+1-an=cn+1，由（1）得a1=1，an+1-an=2
∴cn+1=2，cn=2（n≥2），即当n≥2时，bn=2n+1
又当n=1时，b1=2a1=2
∴
于是Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+23+24+…+2n+1
=2+22+23+24+…+2n+1-4=
（3）数列{n•2n+2}的前n项和为T1=（n-1）•2n+3+8（12分）
数列{6n}的前n项和为T2=3n2+3n（13分）
所以，数列{n•2n+2-6n}的前n项和为T1-T2=（n-1）•2n+3+8-3n2-3n（14分）
已知数列{an}与{bn}，若a1=3且对任意正整数n满足an+1-an=2，数列{bn}的前n项和
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列
正确答案
解：（Ⅰ）∵对任意正整数n满足an+1-an=2，
∴{an}是公差为2的等差数列，又a1=3，
∴an=2n+1；
当n=1时，b1=S1=4；
当n≥2时，
bn=Sn-Sn-1=（n2+2n+1）-[（n-1）2+2（n-1）+1]=2n+1，
对b1=4不成立．
∴数列{bn}的通项公式：bn=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1=
当n≥2时，
∴Tn=
=
=
当n=1时仍成立．
∴Tn=
解析
解：（Ⅰ）∵对任意正整数n满足an+1-an=2，
∴{an}是公差为2的等差数列，又a1=3，
∴an=2n+1；
当n=1时，b1=S1=4；
当n≥2时，
bn=Sn-Sn-1=（n2+2n+1）-[（n-1）2+2（n-1）+1]=2n+1，
对b1=4不成立．
∴数列{bn}的通项公式：bn=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1=
当n≥2时，
∴Tn=
=
=
当n=1时仍成立．
∴Tn=
扫码查看完整答案与解析