- 数列前n项和
- 共2492题
已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若an2=（
正确答案
解：（Ⅰ）由题意知2an=
当n=1时，2a1=a1+
当n≥2时，Sn=2an-
两式相减得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，
整理得：
∴数列{an}是以
∴an=a1•2n-1=2n-2；
（Ⅱ）由an2=22n-4=（
∴bn=4-2n，
∴cn=
由T‘n=
两式相减可得，
化简可得T'n=
即有Tn=T'n-
解析
解：（Ⅰ）由题意知2an=
当n=1时，2a1=a1+
当n≥2时，Sn=2an-
两式相减得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，
整理得：
∴数列{an}是以
∴an=a1•2n-1=2n-2；
（Ⅱ）由an2=22n-4=（
∴bn=4-2n，
∴cn=
由T‘n=
两式相减可得，
化简可得T'n=
即有Tn=T'n-
已知数列{an}的通项公式an=nsin
正确答案
3021
解析
解：由题意，
an=nsin
则S2014=2+1+（-3+1）+1+6+1+（-7+1）+1+…+2014+1
=（2+6+10+…+2014）+2×503-（2+6+10+…+2010）+1
=2014+1006+1=3021．
故答案为：3021．
（2015秋•修水县校级月考）设集合M={a1，a2，…an}（n∈N+），对M的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最大元素，当A取遍M的所有非空子集时，对应的f（A）的和为Tn，若an=2n-1则：①T3=______，②Tn=______．
正确答案
21
解析
解：①∵an=2n-1，n=3时，M={1，2，4}，其非空子集A为{1}，{2}，{4}，{1，2}，{1，4}，{2，4}，{1，2，4}．
∴T3=1+2+4+2+4+4+4=21．
②由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2n-1次．
有2n-1个子集含2n-1，有2n-2个子集不含2n-1含2n-2，…，依此类推可得：有2k-1个子集不含2n-1，2n-2，…，2k，而含有2k-1．
∵定义f（A）为A中的最大元素，
∴对应的f（A）的和为Tn=2n-1•2n-1+2n-2•2n-2+…+2×2+1×1
=
故答案分别为：21；
在有限数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，若把
正确答案
解析
解：∵
其中S1=a1，S2=a1+a2，…S2010=a1+a2+a3+…a2010．
∴所求的优化和=[1+（1+a1）+（1+a1+a2）+…+（1+a1+…+a2009）+（1+a1+…+a2010）]÷2011=[1+（ 1+S1）+（1+S2）+…+（1+S2009）+（1+S2010）]÷2011=[2011×1+（S1+S2+…+S2010）]÷2011=[2011+2010×2011]÷2011=1+2010=2011
故选C．
设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n-1．数列{bn}满足b1=2，bn+1-2bn=8an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：数列{
正确答案
解：（1）当n=1时，a1=s1=21-1=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n-1）-（2n-1-1）=2n-1，
a1=1适合通项公式an=2n-1，
∴an=2n-1（n∈N*）；
（2）∵bn+1-2bn=8an，
∴bn+1-2bn=2n+2，
∴
∴{
∴
∴bn=（2n-1）×2n．
∴Tn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-1）×2n，
∴2Tn=1×22+3×23+…+（2n-3）×2n+（2n-1）×2n+1，
∴-Tn=2+2（22+23+…+2n）-（2n-1）×2n+1
=2+2×
=2n+2-6-（2n-1）×2n+1，
=（3-2n）•2n+1-6，
∴Tn=（2n-3）•2n+1+6．
解析
解：（1）当n=1时，a1=s1=21-1=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n-1）-（2n-1-1）=2n-1，
a1=1适合通项公式an=2n-1，
∴an=2n-1（n∈N*）；
（2）∵bn+1-2bn=8an，
∴bn+1-2bn=2n+2，
∴
∴{
∴
∴bn=（2n-1）×2n．
∴Tn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-1）×2n，
∴2Tn=1×22+3×23+…+（2n-3）×2n+（2n-1）×2n+1，
∴-Tn=2+2（22+23+…+2n）-（2n-1）×2n+1
=2+2×
=2n+2-6-（2n-1）×2n+1，
=（3-2n）•2n+1-6，
∴Tn=（2n-3）•2n+1+6．
已知数列{an}中，a1=1，a2=2，设Sn为数列{an}的前n项和，对于任意的n＞1，n∈N，Sn+1+Sn-1=2（Sn+1）都成立，则S10=______．
正确答案
91
解析
解：∵任意的n＞1，n∈N，Sn+1+Sn-1=2（Sn+1）都成立，
∴Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2，
∴an+1=an+2，
∵a3=a2+2=4，
∴an=a2+（n-2）×2=2+（n-2）×2=2n-2，n≥2．
∴S10=a1+a2+a3+…+a10=1+2+4+…+18=1+2×9+
故答案为：91．
已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，
由f（x）=x2+bx求导得：f′（x）=2x+b，
由导函数得几何含义得：f′（1）=2+b=3⇒b=1，∴f（x）=x2+x
所以f（n）=n（n+1），∴数列 
所以 
则利用裂项相消法可以得到：
所以数列的前2009项的和为：T2009=1-
故选B．
已知数列{an}满足an＞1，过点（an，0）的直线ln与圆x2+y2=1在第一象限相切于点Pn，若记Pn的横坐标为bn，则
正确答案
解析
解：设点Pn（bn，cn），即有bn2+cn2=1，
则切线的斜率为kn=
由OPn⊥ln，可得
可得anbn=1，n∈N*，
则
故选：D．
（2015秋•沈阳校级期中）等比数列{an}的前n项和Sn，已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4成等差数列．
（1）求数列{an}的公比q和通项an；
（2）若{an}是递增数列，令bn=log2
正确答案
解：（1）由已知条件得
解得：
∴
（2）若{an}是递增数列，则
∴bn=
记{bn}的前n项和为Tn=1+2+3+…+n-7n=
则有当1≤n≤7时，|b1|+|b2|+…|bn|=-Tn；
当n＞7时，|b1|+|b2|+…|bn|=Tn-2S7=
∴|b1|+|b2|+…|bn|=
解析
解：（1）由已知条件得
解得：
∴
（2）若{an}是递增数列，则
∴bn=
记{bn}的前n项和为Tn=1+2+3+…+n-7n=
则有当1≤n≤7时，|b1|+|b2|+…|bn|=-Tn；
当n＞7时，|b1|+|b2|+…|bn|=Tn-2S7=
∴|b1|+|b2|+…|bn|=
试问数列
正确答案
解：该数列的第k项为：
所以这个数列是递减等差数列，且其首项为2．
要使前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，
而从第k+1项起以后都是负数因此，
k应适合下列条件：
解此不等式组：由（1）得k≤14.2由（2）得k＞13.2
又k∈N，∴k=14
取k=14，前14项的和
解析
解：该数列的第k项为：
所以这个数列是递减等差数列，且其首项为2．
要使前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，
而从第k+1项起以后都是负数因此，
k应适合下列条件：
解此不等式组：由（1）得k≤14.2由（2）得k＞13.2
又k∈N，∴k=14
取k=14，前14项的和
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