数列前n项和_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn且满足a1+a5==63．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；

（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=a1且bn+1-bn=an+1，求数列的前n项和Tn．

正确答案

解：（Ⅰ）法一：设正项等差数列{an}的首项为a1，公差为d，an＞0

则，

得

∴an=2n+1

法二：∵{an}是等差数列且，∴，

又∵an＞0∴a3=7．…（2分）∵，

∴d=a4-a3=2，∴an=a3+（n-3）d=2n+1．

（Ⅱ）∵bn+1-bn=an+1且an=2n+1，

∴bn+1-bn=2n+3

当n≥2时，bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1

=（2n+1）+（2n-1）+…+5+3=n（n+2），

当n=1时，b1=3满足上式，bn=n（n+2）

∴

=．

解析

解：（Ⅰ）法一：设正项等差数列{an}的首项为a1，公差为d，an＞0

则，

得

∴an=2n+1

法二：∵{an}是等差数列且，∴，

又∵an＞0∴a3=7．…（2分）∵，

∴d=a4-a3=2，∴an=a3+（n-3）d=2n+1．

（Ⅱ）∵bn+1-bn=an+1且an=2n+1，

∴bn+1-bn=2n+3

当n≥2时，bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1

=（2n+1）+（2n-1）+…+5+3=n（n+2），

当n=1时，b1=3满足上式，bn=n（n+2）

∴

=．

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题型：填空题

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填空题

设f（x）是定义在R上不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若，则数列{an}的前n项和的取值范围是______．

正确答案

解析

解：由题意可得，f（2）=f2（1），f（3）=f（1）f（2）=f3（1），

f（4）=f（1）f（3）=f4（1），a1=f（1）=

∴f（n）=

∴=∈[，1）．

故答案：[，1）

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题型：简答题

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简答题

已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（n≥2，n∈N*）

（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{的前n项之和Sn．

正确答案

解：（I）∵an=2an-1+2n∴=

即

∴数列是等差数列，公差为=1，首项为

∴

∴an=（2n-1）•2n-1

（II）Sn=1•20+3•21+5•22+…+（2n-1）•2n-1

∴2Sn=1•21+3•22+…+（2n-3）•2n-1+（2n-1）•2n

两式相减得

-Sn=1+2•21+2•22+…+2•2n-1-（2n-1）2n=（3-2n）•2n-3

∴Sn=（2n-3）•2n+3

解析

解：（I）∵an=2an-1+2n∴=

即

∴数列是等差数列，公差为=1，首项为

∴

∴an=（2n-1）•2n-1

（II）Sn=1•20+3•21+5•22+…+（2n-1）•2n-1

∴2Sn=1•21+3•22+…+（2n-3）•2n-1+（2n-1）•2n

两式相减得

-Sn=1+2•21+2•22+…+2•2n-1-（2n-1）2n=（3-2n）•2n-3

∴Sn=（2n-3）•2n+3

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题型：单选题

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单选题

观察下列程序框图（如图），输出的结果是（　　）（可能用的公式12+22+…+n2=n（n+1）（2n+1），n∈N*）

A328350

B338350

C348551

D318549

正确答案

B

解析

解：由题意，程序的作用是求S=12+22+…+1002，

根据公式可得S=12+22+…+1002=×100×（100+1）×（200+1）=338350，

故选B．

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题型：填空题

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填空题

数列{an}的通项为an=，若Sn=9，则项数n=______．

正确答案

99

解析

解：an==，

∴Sn=9=+…+=，

则项数n=99．

故答案为：99．

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题型：填空题

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填空题

对于k∈N*，g（k）表示k的最大奇数因子，如：g（3）=3，g（20）=5，设Sn=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n），则Sn=______．

正确答案

解析

解：依题意，S1=g（1）+g（2）=1+1=2；

S2=S1+g（3）+g（4）=2+3+1=6；

S3=S2+g（5）…+g（8）=6+5+3+7+1=22，

S4=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（16）

=S3+g（9）+g（10）+g（11）+…+g（16）

=22+9+5+11+3+13+7+15+1

=86．

…

∵b1=S2-S1=4，b2=S3-S2=16，b3=S4-S3=86-22=64，…

∴{bn}是以4为首项，4为公比的等比数列，

∴bn=4×4n-1=4n，

即Sn+1-Sn=4n．

∴Sn=（Sn-Sn-1）+（Sn-1-Sn-2）+…+（S2-S1）+S1

=4n-1+4n-2+…+41+2

=+2

=．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

（2015•石家庄校级模拟）在曲线xy=1上，横坐标为的点为An，纵坐标为的点为Bn，记坐标为（1，1）的点为M，Pn（xn，yn）是△AnBnM的外心，Tn是{xn}的前n项和，则Tn=______．

正确答案

解析

解：由已知可得An，Bn，则线段AnBn的垂直平分线为y=x．

线段AnM的垂直平分线为：=，

把y=x代入解得xn=2+．

∴{xn}的前n项和Tn=2n++…+=2n+=2n+=．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=（-1）nan+，设{Sn}的前n项和为Tn，T2014=______．

正确答案

0

解析

解：∵Sn=（-1）nan+，

∴S2k-1=-a2k-1+，S2k=，S2k+1=-a2k+1+．

∴a2k=a2k+a2k-1-，

∴a2k-1=，

同理可得：a2k=．

∴S2k-1+S2k=-+-+=0，

∴T2014=（T1+T2）+（T3+T4）+…+（T2013+T2014）=0．

故答案为：0．

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题型：简答题

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简答题

设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半径，已知{rn}为递增数列．

（Ⅰ）证明：{rn}为等比数列；

（Ⅱ）设r1=1，求数列的前n项和．

正确答案

解：（1）将直线y=x的倾斜角记为，则有tanθ=，sinθ=，

设Cn的圆心为（λn，0），则由题意得知，得λn=2rn；同理

λn+1=2rn+1，从而λn+1=λn+rn+rn+1=2rn+1，将λn=2rn代入，

解得rn+1=3rn

故|rn|为公比q=3的等比数列．

（Ⅱ）由于r1=1，q=3，故rn=3n-1，从而，

记，

则有Sn=1+2•3-1+3•3-2+…+n•31-n

①-②，得

=，

∴

解析

解：（1）将直线y=x的倾斜角记为，则有tanθ=，sinθ=，

设Cn的圆心为（λn，0），则由题意得知，得λn=2rn；同理

λn+1=2rn+1，从而λn+1=λn+rn+rn+1=2rn+1，将λn=2rn代入，

解得rn+1=3rn

故|rn|为公比q=3的等比数列．

（Ⅱ）由于r1=1，q=3，故rn=3n-1，从而，

记，

则有Sn=1+2•3-1+3•3-2+…+n•31-n

①-②，得

=，

∴

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题型：简答题

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简答题

设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，（n=1，2，3…）

（1）求证数列{an}为等差数列，并分别写出an和sn关于n表达式

（2）设数列的前n项和为Tn，求Tn

（3）是否存在自然数n值得？若存在，求出n值，若不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）由

得sn=nan-2n（n-1）

当n≥2时an=sn-sn-1=nan-（n-1）an-1-4（n-1）

得 an-an-1=4（n=2，3，4…）

故{an}是的a1=1为首项，4为公差的等差数列an=4n-3，sn=2n2-n

（2）

=

（3）由

∴=1+3+5+7+…+（2n-1）-（n-1）2=n2-（n-1）2=2n-1

令2n-1=2009

得n=1005

所以有在满足条件的自然数n=1005

解析

解：（1）由

得sn=nan-2n（n-1）

当n≥2时an=sn-sn-1=nan-（n-1）an-1-4（n-1）

得 an-an-1=4（n=2，3，4…）

故{an}是的a1=1为首项，4为公差的等差数列an=4n-3，sn=2n2-n

（2）

=

（3）由

∴=1+3+5+7+…+（2n-1）-（n-1）2=n2-（n-1）2=2n-1

令2n-1=2009

得n=1005

所以有在满足条件的自然数n=1005

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