- 随机事件及其概率
- 共412题
12． 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，对A、B都不赞成的学生有__________。
正确答案
8
解析
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知识点
4．已知样本：
正确答案
解析
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知识点
19．为了了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：
（1）估计该校男生的人数；
（2）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；
（3）从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm之间的概率。
正确答案
（1）由已知，抽取的学生人数为700
又由统计图知，男生抽取了40人，女生抽取了30人，故男生抽取的比例为
故估计男生的人数为
（2）由统计图知，男生身高在170~185的人数为14+13+4＝31（人）
女生身高在170~185的人数为3+1＝4（人）
∴ 估计该校学生身高在170~185cm的概率为
（3）样本中身高在180~190cm之间的男生共有6人，其中4人身高在180~185cm,分别设这四人为1,2,3,4；还有两人身高在185~190cm, 分别设这两人为A．B。
则从此6人中抽取两人，有（1,2）（1,3）（1,4）（1,A）（1,B）（2,3）（2,4）（2,A）（2,B）（3,4）（3,A）（3,B）（4,A）（4,B）（A,B）
共15种可能结果，每种结果是等可能的，所以试验中包含15个基本事件。
设事件T：“至少有1人身高在185~190cm之间”
则它包含（1,A）（1,B）（2,A）（2,B）（3,A）（3,B）（4,A）（4,B）（A,B）共9种基本事件， ∴
所以至少有一人身高在185~190cm之间的概率为
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知识点
18． 实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学的自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核为优秀，授予20分降分资格。假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为
（1）求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率；
（2）记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得的降分之和为随机变量
正确答案
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知识点
16．一个盒子中装有5个编号依次为l、2、3、4、5的球，这5个球除号码外完全相同，有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一个球．
（Ⅰ）用列举法列出所有可能结果；
（Ⅱ）求事件A=“取出球的号码之和不小于6”的概率；
（III）设第一次取出的球号码为x，第二次取出的球号码为Y，求事件B=“点(X，Y)落在直线y=x+1上方”的概率。
正确答案
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知识点
10．在某地奥运火炬传递活动中，有编号为
正确答案
解析
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知识点
19．从标有1，2，3，…，7的7个小球中取出一个球，记下它上面的数字，放回后再取出一个球，记下它上面的数字，然后把两球上的数字相加，求取出两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率。
正确答案
从标有1，2，3，…，7的7个小球中取出一个球，记下它上面的数字，放回后再取出一个球，记下它上面的数字，共有7×7=49种不同情况，
其中两球上的数字之和大于11或者能被4整除的事件有：
（1，3），（1，7），（2，2），（2，6），（3，1），（3，5），（4，4），（5，3），
（5，7），（6，2），（6，6），（7，1），（7，5），（6，7），（7，6），（7，7），共16种，
故取出两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率P=
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知识点
17．从含有两件正品和一件次品的3件产品中，每次任取1件
（1）每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件次品的概率；
（2）每次取出后放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件次品的概率。
正确答案
（1）
（2）
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知识点
16．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
B配方的频数分布表
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
正确答案
（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为
∴ 用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为
∴ 用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间
[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，
∴ P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，
即X的分布列为
∴ X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
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知识点
20．如图所示，正五边形ABCDE的每个顶点对应着一个整数，且这五个整数的和为正数．若其3个相邻顶点对应的整数依次为x、y、z，且y＜0，则要进行如下的操作：把整数x、y、z分别换为x+y，﹣y，z+y，称其为一次“求正”操作．只要五个整数中有负整数，“求正”操作就要继续进行．
（Ⅰ）若 A，B，C，D，E对应的数分别为3，﹣2，﹣2，4，1，写出每一步“求正”操作直到终止；
（Ⅱ）若 A，B，C，D，E对应的数分别为a，﹣4，5，1，2，并且经过两次“求正”操作后终止，求实数a的值；
（Ⅲ）判断对任意满足条件的数组，“求正”操作是否经过有限次后就一定能终止？说明理由．
正确答案
（I）操作依次为：3，﹣2，﹣2，4，1→1，2，﹣4，4，1，→1，﹣2，4，0，1，→
﹣1，2，2，0，1，→1，1，2，0，0．
（II）分两种情况，先对﹣4操作，过程如下：
a，﹣4，5，1，2→a﹣4，4，1，1，2．此时，a﹣4必为负数，继续操作，→4﹣a，a，1，1，a﹣2．
于是有
若对a进行操作，a，﹣4，5，1，2→﹣a，a﹣4，5，1，a+2．此时a﹣4＜a﹣2，
故可对a﹣4进行操作，﹣a，a﹣4，5，1，a+2→﹣4，4﹣a，a+1，1，a+2．显然无法终止，不符合题意．
综上，所求a的值为2或3．
（III）为方便见，我们把5个数的环列写成横我v，w，x，y，z．不妨设y＜0，经变换后得v，w，x+y，﹣y，z+y．
考察5个数的平方和再加上每相邻两数和的平方这一整体，那么变换前后的差是：
{v2+w2+（x+y）2+（﹣y）2+（z+y）2+（v+w）2+（w+x+y）2+x2+z2+（z+y+v）2]﹣{v2+w2+（x+y）2+y2+（z+y）2+（v+w）2+（w+x）2+x2+z2+（z+v）2]=2y（v+w+x+y+z）＜0，
由此可得，这一整体每经过一次变换都要减小，但最初这一整体是正整数，经变换后还是正整数，
而正整数是不能无限减小的，所以变换必定有终止的时候．
即“求正”操作经过有限次后就一定能终止．
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