虚数单位i及其性质
共304题

· 虚数单位i及其性质

虚数单位i及其性质
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题型：简答题

简答题 · 18 分

已知的三个顶点在抛物线:上运动，

（1）求的焦点坐标；

（2）若点在坐标原点，且，点在上，且，求点的轨迹方程；

（3）试研究: 是否存在一条边所在直线的斜率为的正三角形，若存在，求出这个正三角形的边长，若不存在，说明理由.

正确答案

见解析

解析

（1）由得所以,焦点坐标为　　　　　　　　……3分

（2）设点的坐标为,边所在的方程为(显然存在的),与抛物线交于

则得, ……5分

又点在抛物线上,故有,

或(舍)

-------① ……7分

又的斜率为,则有 ,既代入①

故点轨迹为 (注:没写扣1分) ……9分

另解:由上式①过定点, ,

所以, , 既

（3）若存在边所在直线的斜率为的正三角形,设,

(其中不妨设), 则 , ------① ……11分

令,则,即

将①代入得,,

-----------------② ……13分

线段的中点为,由①, ②得的横坐标为,

的纵坐标为 ……15分

又设由得

点在抛物线上,则,即,

又因为 , ……18分

知识点

虚数单位i及其性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知关于的不等式解集为.

（1）求实数的值；

（2）若复数，且为纯虚数，求的值。

正确答案

见解析

解析

（1）4＋2m－2＝0，解得m=－1

（2）=(－cosα－2sinα)＋ (－sinα＋2cosα)i为纯虚数

所以，－cosα－2sinα＝0，tanα=－,

所以，=－

知识点

虚数单位i及其性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知复数（为虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为___________。

正确答案

解析

，故其共轭复数为，则复数的共轭复数的虚部为。

知识点

虚数单位i及其性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

复数（为虚数单位）的虚部是（　　）

正确答案

解析

原式＝，选D。

知识点

虚数单位i及其性质复数的基本概念复数代数形式的乘除运算

题型：简答题

简答题 · 10 分

在平面直角坐标系xOy中，过椭圆在第一象限处的一点分别作轴、轴的两条垂线，垂足分别为，求矩形周长最大值时点的坐标。

正确答案

见解析。

解析

设（为参数），

则矩形周长为，

所以，当时，矩形周长取最大值4，

此时，点.

知识点

虚数单位i及其性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

复数的虚部是

正确答案

解析

，所以虚部为，选B.

知识点

虚数单位i及其性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

定义运算，则符合条件的复数是

正确答案

解析

设，根据定义运算得，即，根据复数相等的定义得得所以。

知识点

虚数单位i及其性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

把复数的共轭复数记作，为虚数单位，若，则

正确答案

解析

由得。

知识点

虚数单位i及其性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知复数z满足（z+1）i=3+5i，其中i为虚数单位，则|z|=　。

正确答案

解析

因为复数z满足（z+1）i=3+5i，

所以z+1=

所以z==，

两边求模可得：|z|===5。

知识点

虚数单位i及其性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

复数（其中是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于（）

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

解析

,共轭复数为，对应的点位于第二象限,选B.

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