数列_章节学习_百度题库

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知数列中，.

（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；

（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）由知，，

又是以为首项，为公比的等比数列，

（2），

，

两式相减得

，

若n为偶数，则

若n为奇数，则

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的判断与证明数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

数列中，，是前项和，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和，并比较与2的大小；

正确答案

见解析。

解析

（1）

知识点

由递推关系式求数列的通项公式分组转化法求和数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

正确答案

见解析。

解析

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

已知：数列满足

（1）求数列的通项

（2）若，求数列的前n项的和

正确答案

见解析。

解析

（1）n=1时，

时，（i）

（ii）

（i）-（ii）得，

又适合上式

（2）

知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设数列满足，。

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项。

正确答案

见解析。

解析

（1）因为，， ①

所以当时，。

当时，， ②

①－②得，。

所以。

因为，适合上式，

所以。

（2）由（1）得。

所以

。

所以

。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知函数在(0，1)上单调递减。

（1）求a的取值范围；

（2）令，求在[1，2]上的最小值。

正确答案

见解析。

解析

知识点

由递推关系式求数列的通项公式

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

设为等差数列的前项和，，则= 。

正确答案

-6

解析

略。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知函数

的图象上。

（1）求数列的通项公式；

（2）令证明：。

正确答案

见解析。

解析

（1）

当；当，适合上式，

（2）证明：由

又

……12分

成立

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的前n项和及其最值数列与函数的综合数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知数列满足(为常数，)

（1）当时，求；

（2）当时，求的值；

（3）问：使恒成立的常数是否存在？并证明你的结论.

正确答案

见解析

解析

（1）当时，，为等差数列，又，则公差

，

（2）　，，，，，，，，，，，，我们发现数列为一周期为6的数列.事实上，由有，.……8分(理由和结论各2分)

因为，所以.

（3）假设存在常数，使恒成立.由①，及，有②, ①-②得.所以，或.当，时，数列｛｝为常数数列，不满足要求.由得，于是，即对于，都有，所以，

从而.所以存在常数，使恒成立。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

在数列中，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：数列是等差数列；

（3）设数列，求的前项和.

正确答案

见解析。

解析

（1）,∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴.…………………………………………………………………3分

（2） ………………………………………………………………4分

∴.………………………………………………………6分

∴，公差

∴数列是首项，公差的等差数列. ………………………………7分

（3）由（1）知，,

∴ ……………………………………………………8分

∴

……………………………10分

…………………………12分

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的判断与证明分组转化法求和

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知数列，满足，且当（）时，.令。

（1）写出的所有可能取值；

（2）求的最大值.

正确答案

（1），，，，

（2）

解析

（1）由题设，满足条件的数列的所有可能情况有：

1）此时；

2）此时；

3）此时；

4）此时；

5）此时；

6）此时.

所以，的所有可能取值为：，，，，。 .………5分

（2）由，可设，则或（，），

，

…

，

所以。………7分

因为，所以，且为奇数，是由个1和个构成的数列。

所以

。

则当的前项取，后项取时最大，

此时。.……10分

证明如下：

假设的前项中恰有项取，则

的后项中恰有项取，其中，，，。

所以

。

所以的最大值为。 .………13分

知识点

由递推关系式求数列的通项公式分组转化法求和

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知数列是等差数列，；数列的前n项和是，且。

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：数列是等比数列；

（3）记，求的前n项和。

正确答案

见解析。

解析

（1）设的公差为，则：，，

∵，，∴，∴，

∴。

（2）当时，，由，得。

当时，，，

∴，即，

∴，

∴是以为首项，为公比的等比数列，

（3）由（2）可知：。

∴，

∴。

∴

。

∴，

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的判断与证明错位相减法求和

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知，数列｛dn｝满足；数列｛an｝满足；数列｛bn｝为公比大于1的等比数列，且b2，b4为方程的两个不相等的实根。

（1）求数列｛an｝和数列｛bn｝的通项公式；

（2）将数列｛bn｝中的第a1项，第a2项，第a3项，……，第an项，……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列（cn｝，求数列｛cn｝的前2013项的和。

正确答案

见解析。

解析

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与函数的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

等差数列中，，前项和为，等比数列各项均为正数，，且，的公比

（1）求与；

（2）记=,求数列的前项和.

正确答案

见解析。

解析

（1）由已知可得

解直得，或（舍去），

（2）由（1）得，

由已知得 ①

②

①-②得

知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和等差数列与等比数列的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知数列的前项和为。

（1）求数列{}的通项公式；

（2）若，则称是一个变号数，求数列的变号数的个数；

（3）根据笛卡尔符号法则，有：若关于实数的方程的所有素数均为实数，则该方程的正根的个数等于的变号数的个数或比变号数的个数多2的倍数，动用以上结论证明：方程没有比3大的实数根。

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