直线与双曲线的位置关系
共211题

· 直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系
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题型：简答题

简答题

如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，∠C=90°，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD=3DC，△ABC的周长为12。若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点，

（1）求双曲线E的方程；

（2）若一过点P（m，0）（m为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且，问在x轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由。

正确答案

解：（1）设双曲线E的方程为，

则，

由BD=3DC，得，即c=2a，

∴，

解之得a=1，

∴，

∴双曲线E的方程为。

（2）设在x轴上存在定点G（t，0），使，

设直线的方程为x-m=ky，

，

由，得，

即，①

∵，，

∴，

即，②

把①代入②，得，③

把x-m=ky代入并整理得，

其中且△＞0，即且，

，

代入③，得，

化简得kmt=k，

当时，上式恒成立；

因此，在x轴上存在定点，使。

题型：简答题

简答题

已知△AOB的顶点A在射线上l1：y=x（x＞0），A、B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足=3，当点A在l1上移动时，记点M的轨迹为W。

（1）求轨迹W的方程；

（2）设N（2，0），是否存在过N的直线与W相交于P，Q两点，使得=1？若存在，求出直线l；若不存在，说明理由。

正确答案

解：（1）因为A，B两点关于x轴对称，

所以AB边所在直线与y轴平行

设，由题意得

∵

∴

所以点M的轨迹W的方程为

（x＞0）；

（2）假设存在，设

或x=2

当直线时，由题意，知点P，Q的坐标是方程组

的解

消去y得

所以且

∵直线与双曲线的右支（即W）相交两点P，Q

∴，

即 ①

∵

∴

要使，则必须有

解得代入①不符合

所以不存在直线l，使得

当直线l：x=2时，

，不符合题意

综上：不存在直线l，使得。

题型：填空题

填空题

已知过点A（t，0）（t>2）且倾斜角为60°的直线与双曲线C：=1交于M，N两点，交双曲线C的右准线于点P，满足3，则t=（）

正确答案

题型：简答题

简答题

如图，双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，F1、F2分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且，

（1）求双曲线的方程；

（2）设A（m，0）和B（）（0＜m＜1）是x轴上的两点，过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E，证明直线DE垂直于x轴。

正确答案

解：（1）根据题设条件，，

设点M（x，y），则x、y满足，

因，解得，

故，

利用，得，于是，

因此，所求双曲线方程为；

（2）设，

则直线l的方程为，

于是两点坐标满足，

将（1）代入（2）得

，

由，上面方程可化简为

，

由已知，显然，

于是，

因为，得；

同理，两点坐标满足，

可解得，

所以，故直线DE垂直于x轴。

题型：简答题

简答题

已知双曲线C：的离心率为，且过点P（，1），

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）若直线l：y=kx+与双曲线交于两个不同点A、B，且＞2（O为坐标原点），求k的取值范围。

正确答案

解：（Ⅰ）由已知，

∴，

又P（，1）在双曲线上，

∴，

故所求双曲线C的方程为；

（Ⅱ）联立，

设，

，

又，

∴，

故k的取值范围为。

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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