直线与双曲线的位置关系
共211题

· 直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系
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题型：填空题

填空题

作用于同一点的两个力和的夹角为，且||=3，||=5，则+大小为 ______．

正确答案

∵和的夹角为，

且||=3，||=5，

∴|+===|，

故答案为．

题型：简答题

简答题

已知两定点F1（-，0），F2（，0），满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。如果且曲线E上存在点C，使，求m的值和△ABC的面积S。

正确答案

解：（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，

且，易知

故曲线的方程为

设

由题意建立方程组

消去y，得

又已知直线与双曲线左支交于两点，有

解得

又∵

依题意得

整理后得

∴或

但

∴

故直线AB的方程为

设

由已知

得

∴，

又，

∴点

将点C的坐标代入曲线E的方程，得

得

但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意

∴

C点的坐标为

C到AB的距离为

∴的面积。

题型：简答题

简答题

已知中心在原点的双曲线C的左焦点为（-2，0），右顶点为（，0）。

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A，B且（其中O为原点），求k的取值范围。

正确答案

解：（1）由题意，知双曲线C的焦点在x轴上，且c=2，a=，

∴b=1，

∴双曲线C的方程为。

（2）由题意，设，，

将直线l：代入双曲线，有

，

∵直线l与双曲线C恒有两个不同的交点A，B且，

∴，

，，

，

∴即，

化简，得：，

即或，

∴k的取值范围是{k|或}。

题型：简答题

简答题

已知点P（x，y）与点A（-，0），B（，0）连线的斜率之积为1，点C的坐标为（1，0）。

（1）求点P的轨迹方程；

（2）过点Q（2，0）的直线与点P的轨迹交于E、F两点，求证：为常数。

正确答案

解：（1）直线PA和PB的斜率分别为与

依题意有

即

所求点P的轨迹方程为；

（2）令E（x1，y1），F（x2，y2），

设过点Q（2，0）的直线为y= k（x-2），

把它代入

得

由韦达定理，得

∴

当直线斜率不存在时，可得E、F的坐标为

此时

故为常数-1。

题型：简答题

简答题

设直线l与椭圆相交于A、B两点，l又与双曲线x2-y2=1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB．求直线l的方程。

正确答案

解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为y=kx+b，

如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：

依题意有

由得

∴

由得

若，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故

∴

由

或

（i）当k=0时，由（1）得

由（2）得

由

即

故l的方程为

（ii）当b=0时，由（1）得

由（2）得

由

即

故l的方程为

再讨论l与x轴垂直的情况

设直线l的方程为x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得

由

即

故l的方程为

综上所述，故l的方程为，和。

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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