直线与双曲线的位置关系
共211题

· 直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系
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题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A(1，0)、B(0，-2)，点C满足，其中m、n∈R，且m-2n=1，

(1)求点C的轨迹方程；

(2)设点C的轨迹与双曲线(a＞0，b＞0，且a≠b)交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证为定值；

(3)在(2)的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围．

正确答案

解：(1)设C(x，y)，因为，

则(x，y)=m(1，0)+n(0，-2)，

∴，

∵m-2n=1，

∴x+y=1，即点C的轨迹方程为x+y-1=0．

(2)由得，

由题意知，

设，则，，

因为以MN为直径的圆过原点，

∴，

即，

∴，

即，

∴为定值．

(3)∵，

∴，

∵，

∴，

∴，及，∴，

从而0＜2a≤1；

∴双曲线实轴长的取值范围是(0，1]。

题型：简答题

简答题

如图，已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）。

（1）求k的取值范围，并求x2-x1的最小值；

（2）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么，k1·k2是定值吗？证明你的结论。

正确答案

解：（1）∵l与圆相切

∴

∴m2=1+k2由得（1-k2）x2-2mkx-（m2+1）=0

∴

∴k2＜1，

∴-1＜k＜1

故k的取值范围为（-1，1）

由于

所以

∵0≤k2＜1

∴当k2=0时，x2-x1取最小值。

（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（-1，0），（1，0）

∴

由（1）得m2-k2=1

∴为定值。

题型：简答题

简答题

已知点A（-，0）和B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求线段DE的长。

正确答案

解：设点C（x，y），则，

根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线，

由，得，

故点C的轨迹方程是，

由，得，

因为△＞0，所以直线与双曲线有两个交点。

设，

则，

故。

题型：简答题

简答题

已知双曲线C：（a>0，b>0）的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，一条准线的方程为x=。

（1）求双曲线C的方程；

（2）若双曲线C上的一点P满足，求的值；

（3）若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M，N，且M，N在以A（0，-1）为圆心的圆上，求实数m的取值范围。

正确答案

解：（1）由条件有

∴

∴，

故双曲线C的方程为：；

（2）设

∵

∴

又

∴

即，

又由余弦定理有：，

即

∴，

故；

（3）由

则由条件有：是①

设中点，

则，

又M，N在以A（0，-1）为圆心的圆上，

∴，

化简得：②

将②代入①得：解得m<0或m>4，

又由

∴，

综上：或m>4。

题型：简答题

简答题

已知双曲线C：的右焦点为F2，F2在C的两条渐近线上的射影分别为P、Q，O是坐标原点，且四边形OPF2Q是边长为2的正方形，

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）过F2的直线l交C于A、B两点，线段AB的中点为M，问|MA|=|MB|=|MO|是否能成立？若成立，求直线l的方程；若不成立，请说明理由。

正确答案

解：（Ⅰ）依题意知C的两条渐近线相互垂直，且F2点到任一条渐近线的距离为2，

，

故双曲线C的方程为。

（Ⅱ）这样的直线不存在，证明如下：

当直线l的斜率不存在时，结论不成立；

当直线l斜率存在时，设其方程为，

并设、，

由知，

，

则，

故

这不可能；

综上可知，不存在这样的直线。

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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