直线与双曲线的位置关系
共211题

· 直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系
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题型：简答题

简答题

如果双曲线的两个焦点分别为F1（-3，0），F2（3，0），一条渐近线方程为：。

（1）求该双曲线的方程；

（2）过焦点F2，倾斜角为的直线与该双曲线交于A、B两点，求|AB|。

正确答案

解：（1）依题意，设该双曲线的方程为：，

则，

∴双曲线的方程为。

（2）由题设知直线AB的方程为，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由得，

∴，

∴。

题型：填空题

填空题

直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上，实轴长为2 ，离心率为的双曲线交于A、B两点，若AB的中点为(2，1)，则直线l 的方程是_______．

正确答案

4x-y-7=0

题型：简答题

简答题

已知两定点F1（-，0），F2（，0），满足条件=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点，

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）如果，且曲线E上存在点C，使，求m的值和△ABC的面积S。

正确答案

解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，

且，易知b=1，

故曲线E的方程为，

设，由题意建立方程组，

消去y，得，

又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，

有，解得，

（Ⅱ）∵

，

依题意得，

整理后得，

∴，

但，

∴，

故直线AB的方程为，

设，由已知，得，

∴，

又，

∴点，

将点C的坐标代入曲线E的方程，得，得m=±4，

但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意；

∴m=4，点C的坐标为，

C到AB的距离为，

∴△ABC的面积。

题型：简答题

简答题

P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左、右定点，直线PM，PN的斜率之积为，

（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上的一点，满足，求λ的值。

正确答案

解：（1）已知双曲线E：，

在双曲线上，M，N分别为双曲线E的左右顶点，

所以M（-a，0），N（a，0），

直线PM，PN斜率之积为，

而，比较得；

（2）设过右焦点且斜率为1的直线L：y=x-c，交双曲线E于A，B两点，

则不妨设，

又，点C在双曲线E上：

， ①

又联立直线L和双曲线E方程消去y得：，

由韦达定理得：，，

代入①式得：或λ=-4。

题型：简答题

简答题

已知两定点F1（-，0），F2（，0），满足条件=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点，

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）如果，且曲线E上存在点C，使，求m的值和△ABC的面积S。

正确答案

解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，

且，易知b=1，

故曲线E的方程为，

设，由题意建立方程组，

消去y，得，

又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，

有，解得，

（Ⅱ）∵

，

依题意得，

整理后得，

∴，

但，

∴，

故直线AB的方程为，

设，由已知，得，

∴，

又，

∴点，

将点C的坐标代入曲线E的方程，得，得m=±4，

但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意；

∴m=4，点C的坐标为，

C到AB的距离为，

∴△ABC的面积。

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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