热门试卷

解：（I）设P（x，y），则化简得x2﹣=1（y≠0）；

（II）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x﹣2）（k≠0）

与双曲线x2﹣=1联立消去y得

（3﹣k2）x2+4k2x﹣（4k2+3）=0

由题意知3﹣k2≠0且△＞0

设B（x1，y1），C（x2，y2），则

y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2﹣2（x1+x2）+4]=k2（+4）=

因为x1、x2≠﹣1

所以直线AB的方程为y=（x+1）

因此M点的坐标为（）

，

同理可得

因此==0

②当直线BC与x轴垂直时，直线方程为x=2，则B（2，3），C（2，﹣3）

AB的方程为y=x+1，

因此M点的坐标为（），

同理可得

因此=0

综上=0，即FM⊥FN

故以线段MN为直径的圆经过点F．

解：(Ⅰ)依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0＜a2＜4），

将点（3，）代入上式，

得，解得a2=18（舍去）或a2=2，

故所求双曲线方程为。

(Ⅱ)依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，

代入双曲线C的方程并整理，得(1-k2)x2-4kx-6=0，

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴，

∴k∈，

设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由①式得x1+x2=，

于是|EF|=

=，

而原点O到直线l的距离d=，

∴SΔOEF=，

若SΔOEF=2，即，

解得k=±，满足②，

故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=。

解：（1）∵点A（﹣1，0），B（1，0），动点P（x，y），

∴ ， ，

∵PA与PB的斜率之积为3，

∴ ，x≠±1，

∴ ．

（2）①设∠CFB=α，∠CBF=β，β为锐角， 

则tanα= ，tanβ= ， ，

∴tan2β= = = =tanα．

②由题意C（x1，y1），y1＞0，D（x2，y2），y2＜0，

联立 ，得（3m2﹣1）y2+6mby+3b2﹣3=0，

则△=12（b2+3m2﹣1）＞0， ， ，

∵k= ，∴ ，∴3m2﹣1＜0，

故 ，

设∠DFB=γ，∠DBF=θ，

∵ ，tan ， ，

∴tan2θ= = =﹣ =tanγ，

∵2θ∈（0，π），γ∈（0，π），

∴γ=2θ，即∠DFB=2∠DBF，

∵α，2β∈（0，π），

∴由（2）①得α=2β，即∠CFB=2∠CBF，

又∠DFB=2∠DBF，

∴∠FCB与∠FDB互补，即∠FCB+∠FDB=π，

∴2π﹣3∠CBF﹣3∠DBF=π，则 ，

由到角公式，得 = ， ∴ = ，

即 ，

∴3m2﹣1=4b+4，

∴3m2﹣4b=5（定值）．

解：（1）设双曲线C2的方程为

则a2=4-1=3，c2=4，

再由a2+b2=c2，得b2=1，

故C2的方程为。

（2）将代入

得（1-3k2）x2-6kx-9=0

由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得

∴且k2＜1 ①

设A（x1，y1），B（x2，y2）

则

∴x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+）（kx2+）

=（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+2=

又∵

得x1x2+y1y2>2

∴，即

解得 ②

由①②得

故k的取值范围为。