热门试卷

解：（Ⅰ）根据题意设双曲线S的方程为，

且，解方程组得，

∴所求双曲线的方程为。 

（Ⅱ）当k=0时，双曲线S上显然不存在两个点关于直线l：y=kx+4对称；

当k≠0时，设又曲线S上的两点M、N关于直线l对称，

由l⊥MN，直线MN的方程为，

则M、N两点的坐标满足方程组，

消去y得，

显然，

∴，

即，

设线段MN中点为，

则，

∵在直线l：y=kx+4上，

∴，即，

∴，∴，解得m＞0或m＜-1，

∴或，

∴或，即或，且k≠0，

∴k的取值范围是。

解：（1）由，所以，，　　

焦点F（c，0）到渐近线bx-ay=0的距离，　　

所以，　　

所以，

所以a2=1， 　　

所以双曲线方程为；　　

（2）设，　　

将y=kx+1代入x2-y2=1得，　　

所以，

解得。

解：（1）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D（0，2），P（），依题意得

|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=

＜|AB|=4

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线

设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，

则c=2，2a=2，

∴a2=2，b2=c2-a2=2

∴曲线C的方程为。

（2）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理得

（1-k2）x2-4kx-6=0 ①

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴

∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）②

设E（x1，y1），F（x2，y2），

则由①式得x1+x2=，

于是|EF|=

=

而原点O到直线l的距离d=，

∴S△DEF=

若△OEF面积不小于2，即S△OEF≥，则有

解得 ③

综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）。

解：（Ⅰ）设P（x，y），则

化简得；

（Ⅱ）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k（x-2）（k≠0），与双曲线方程联立消去y得（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0

由题意知，3-k2≠0且△>0

设B（x1，y1），C（x2，y2）

则

因为

所以直线AB的方程为

因此M点的坐标为

同理可得

因此

②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x=2

则B（2，3），C（2，-3），AB的方程为y=x+l

因此M点的坐标为，

同理可得

因此

综上

即

故以线段MN为直径的圆过点F。