直线与双曲线的位置关系
共211题

· 直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系
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题型：简答题

简答题

设圆C与两圆（x+）2+y2=4，（x-）2+y2=4中的一个内切，另一个外切。

（1）求圆C的圆心轨迹L的方程；

（2）已知点M（，），F（，0）且P为L上动点，求||MP|-|FP||的最大值及此时点P的坐标。

正确答案

解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为，

由题意得或

∴

可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为

则

所以轨迹L的方程为；

（2）∵

仅当时，取“=”

由知直线

联立并整理得

解得或（舍去）

此时

所以最大值等于2，此时。

题型：简答题

简答题

如图，F为双曲线C：的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=λ|OF|，

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与λ的关系式；

（Ⅱ）当λ=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程。

正确答案

解：（Ⅰ）∵四边形OFPM是，

∴，

作双曲线的右准线交PM于H，则，

又，

。

（Ⅱ）当λ=1时，e=2，c=2a，，

双曲线为，

设P，则，

，

所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，

代入到双曲线方程得：，

又|AB|=12，由得：

，解得a=1，则，

所以为所求。

题型：简答题

简答题

双曲线(a＞0，b＞0)满足如下条件：(1) ab=；(2)过右焦点F的直线l的斜率为，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|：|QF|=2：1，求双曲线的方程。

正确答案

解：设直线l：，

令x=0，得P(0，)，

设，Q(x，y)，则有，

又在双曲线上，

∴，

∵a2+b2=c2，

∴，解得：=3，

又由ab=，可得，

∴所求双曲线方程为。

题型：简答题

简答题

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（-3，0），一条渐近线的方程是

(1)求双曲线C的方程；

(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．

正确答案

解：(1)设双曲线C的方程为(a>0.b>0).

由题设得解得

所以双曲线C的方程为

(2)设直线l的方程为y=kx+m(k≠0)．

点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方程组

将①式代入②式，得

整理得(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0.

此方程有两个不等实根，

于是5-4k2≠0，且Δ=(-8km)2 +4(5-4k2)(4m2+20)>0.

整理得m2+5-4k2 >0. ③

由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x0，y0)满足

从而线段MN的垂直平分线的方程为

此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为

由题设可得

整理得．

k≠0．将上式代入③式得

整理得(4k2-5) (4k2-|k|-5)>0,k≠0,

解得或

所以k的取值范围是

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系中，点P（x，y）为动点，已知点，直线PA与PB的斜率之积为。

（I）求动点P轨迹E的方程；

（II）过点F（1，0）的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M，Q）（不重合），求证：直线MQ过定点。

正确答案

解：（1）由题知：，

化简得：；

（2）设，，

代入整理得

∵MQ的方程为

令y=0，得

直线MQ过定点（2，0）。

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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