直线与双曲线的位置关系
共211题

· 直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系
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题型：简答题

简答题

双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点A在双曲线的右支上，点B在双曲线的左准线上，，

(1)求双曲线的离心率e；

(2)若此双曲线过C（2，），求双曲线的方程；

(3)在(2)的条件下，D1、D2分别是双曲线的虚轴端点(D2在y轴正半轴上)，过D1的直线l交双曲线于点M、N，，求直线l的方程．

正确答案

解：(1)四边形F2ABO是平行四边形，

∴，即0，

∴，∴平行四边形F2ABO是菱形，

如图，则r2=d1=c，r1=2a+r2=2a+c，

由双曲线定义得，

∴e=2(e=-1舍去)；

(2)由，

双曲线方程为1，把点代入得，

∴双曲线的方程为。

(3)D1(0，-3)，D2(0，3)，设l的方程为y=kx-3，，

则由，

因为l与双曲线有两个交点，∴，

∴，

，

∴，满足△＞0，

∴，

故所求直线l的方程为或。

题型：简答题

简答题

已知两定点F1（-，0），F2（，0），满足条件=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点，

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）如果，且曲线E上存在点C，使，求m的值和△ABC的面积S。

正确答案

解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，

且，易知b=1，

故曲线E的方程为，

设，由题意建立方程组，

消去y，得，

又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，

有，解得，

（Ⅱ）∵

，

依题意得，

整理后得，

∴，

但，

∴，

故直线AB的方程为，

设，由已知，得，

∴，

又，

∴点，

将点C的坐标代入曲线E的方程，得，得m=±4，

但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意；

∴m=4，点C的坐标为，

C到AB的距离为，

∴△ABC的面积。

题型：简答题

简答题

已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，

（Ⅰ）求双曲线C2的方程；

（Ⅱ）若直线l：y=kx+与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围。

正确答案

解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，

则，

再由，得，

故C2的方程为；

（Ⅱ）将代入得，

由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得，即， ①

将代入得，

由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B，

得，

即，

设，

则，

由，

而

，

于是，

解此不等式得， ③

由①、②、③得，

故k的取值范围为。

题型：简答题

简答题

设双曲线C：（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B。

（1）求双曲线C的离心率e的取值范围：

（2）设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值。

正确答案

解：（1）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组

有两个不同的实数解

消去y并整理得（1-a2）x2+2a2x-2a2=0 ①

所以

解得且

双曲线的离心率

∵且

∴且

即离心率e的取值范围为。

（2）设，

∵

∴

因此得

由于x1+x2都是方程①的根，且1-a2≠0

所以

消去x2得

由

所以。

题型：简答题

简答题

已知椭圆的左，右两个顶点分别为A、B，曲线C是以A、B两点为顶点，焦距为的双曲线。设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T。

（1）求曲线C的方程；

（2）设P、T两点的横坐标分别为x1、x2，求证x1·x2为一定值；

（3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围。

正确答案

解：（1）依题意可得，

双曲线的焦距为，，

双曲线的方程为

（2）证明：设点、（，），直线的斜率为（），则直线的方程为

联立方程组整理，得

解得或

同理方程组可得：

为一定值

（3）设点、（，），则，．，，即

点在双曲线上，则，

所以，即

又点是双曲线在第一象限内的一点，所以，

由（2）知，，即，设，则，

，在上单调递减，在上单调递增

当，即时，

的取值范围为

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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