- 直线与双曲线的位置关系
- 共211题
已知双曲线C的中点在原点，双曲线C的右焦点为F坐标为（2，0），且双曲线过点C（
（1）求双曲线C的方程；
（2）设双曲线C的左顶点为A，在第一象限内任取双曲线上一点P，试问是否存在常数λ（λ＞0），使得∠PFA=λ∠PAF恒成立？并证明你的结论．
正确答案
解：（1）设双曲线方程为
∵双曲线C的右焦点为F坐标为（2，0），且双曲线过点C（
∴
∴双曲线C的方程为
（2）当PF⊥x轴时，P（2，3），|AF|=1+2=3，∴∠PFA=90°，∠PAF=45°，此时λ=2．
以下证明当PF与x轴不垂直时∠PFA=2∠PAF成立．
设P（x0，y0），则kPA=tan∠PAF=
tan2∠PAF=
由
∵∠PFA∈（0，
∴∠PFA=2∠PAF恒成立．
综上，常数λ为2．
解析
解：（1）设双曲线方程为
∵双曲线C的右焦点为F坐标为（2，0），且双曲线过点C（
∴
∴双曲线C的方程为
（2）当PF⊥x轴时，P（2，3），|AF|=1+2=3，∴∠PFA=90°，∠PAF=45°，此时λ=2．
以下证明当PF与x轴不垂直时∠PFA=2∠PAF成立．
设P（x0，y0），则kPA=tan∠PAF=
tan2∠PAF=
由
∵∠PFA∈（0，
∴∠PFA=2∠PAF恒成立．
综上，常数λ为2．
已知双曲线x2-
正确答案
-2
解析
解：根据题意，设P（x，y）（x≥1），
易得A1（-1，0），F2（2，0），
又x2-
于是
当x=1时，取到最小值-2；
故答案为：-2．
已知双曲线x2-
正确答案
解：设过点M（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1
（1）当k存在时有
得（2-k2）x2+（2k2-2k）x-k2+2k-3=0 （1）
当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有
△=（2k2-2k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）＞0，k＜
又方程（1）的两个不同的根是两交点A、B的横坐标
∴x1+x2=
∴
∴k=2，使2-k2≠0但使△＜0
因此当k=2时，方程（1）无实数解
故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在．
（2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件，
综上，符合条件的直线l不存在
解析
解：设过点M（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1
（1）当k存在时有
得（2-k2）x2+（2k2-2k）x-k2+2k-3=0 （1）
当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有
△=（2k2-2k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）＞0，k＜
又方程（1）的两个不同的根是两交点A、B的横坐标
∴x1+x2=
∴
∴k=2，使2-k2≠0但使△＜0
因此当k=2时，方程（1）无实数解
故过点m（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在．
（2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件，
综上，符合条件的直线l不存在
点P在双曲线x2-y2=1上运动，O为坐标原点，线段PO中点M的轨迹方程是______．
正确答案
4x2-4y2=1
解析
解：设M（x，y），则P（2x，2y），代入双曲线方程得4x2-4y2=1，即为所求．
∴点M的轨迹方程4x2-4y2=1．
故答案为：4x2-4y2=1．
双曲线
正确答案
解析
解：∵|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）； B．（1，3]； C．（3，+∞）； D．[3，+∞）”
其正确选项是B，区间前端点为1，后端点为3=
若将其中的条件“|PF1|=2|PF2|”更换为“|PF1|=k|PF2|，k＞0且k≠1”，试经过合情推理，
得出双曲线离心率的取值范围是开区间，前端点为1，后端点为
∴双曲线离心率的取值范围是
故答案为
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