- 直线与双曲线的位置关系
- 共211题
已经点P（-3，1）在双曲线
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意知
∵方向向量为
过点P（-3，1）且方向向量为
∴双曲线的左焦点是F（-5，0）．由c=5．
由
∴
故选A．
若点P（m，n）与点P′（m′，n′）满足m′=n，n′=m，则称P′为P的“反变换对称点”，如点（1，2）的“反变换对称点”为点（2，1），已知三点M（3
（1）求以F1、F2为焦点，且过点M的双曲线C1的标准方程；
（2）设M′、F1′和F2′分别为M、F1和F2的“反变换对称点”，求以F1′、F2′为焦点，且过点M′的椭圆C2的标准方程．
正确答案
解：（1）由题意，c=5，2a=||MF1|-|MF2||=6，
∴a=3，b=4，
∴双曲线C1的标准方程为
（2）M′（4，3
∴c′=5，2a′=||M′F1′|+|M′F2′||=10
∴a′=5
∴b′=5，
∴椭圆C2的标准方程为
解析
解：（1）由题意，c=5，2a=||MF1|-|MF2||=6，
∴a=3，b=4，
∴双曲线C1的标准方程为
（2）M′（4，3
∴c′=5，2a′=||M′F1′|+|M′F2′||=10
∴a′=5
∴b′=5，
∴椭圆C2的标准方程为
双曲线x2-y2=1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是（ ）
正确答案
解析
解：由题意条件知双曲线的渐近线倾斜角为45°，
当点P向双曲线左下方无限移动时，直线PF逐渐与渐近线平行，但是永不平行，所以倾斜角大于45°；
当点P逐渐靠近顶点时，倾斜角逐渐增大，但是小于180°．
所以直线PF的倾斜角的范围是（45°，180°）．
由此可知直线PF的斜率的变化范围（-∞，0）∪（1，+∞）．
故选C．
正确答案
解：选择海平面与剖面的交线为x轴，A，B所在直线为y轴，B为原点建立如图所示直角坐标系，
据题意可设曲线方程为
可知到2050年底海平面共上升了4×50=200（厘米），即2米，使该地区有水面面积10千米2，
即当y=2时，πx2=107，代入①得，
故双曲线方程为
照此推算，到2100年底海平面共上升了4×100=400（厘米），即4米．
把y=4代入②得，πx2=50×106．
所以该地区在2100年底将有水面面积50千米2．
解析
解：选择海平面与剖面的交线为x轴，A，B所在直线为y轴，B为原点建立如图所示直角坐标系，
据题意可设曲线方程为
可知到2050年底海平面共上升了4×50=200（厘米），即2米，使该地区有水面面积10千米2，
即当y=2时，πx2=107，代入①得，
故双曲线方程为
照此推算，到2100年底海平面共上升了4×100=400（厘米），即4米．
把y=4代入②得，πx2=50×106．
所以该地区在2100年底将有水面面积50千米2．
已知P是双曲线
①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为
②若|PF1|=e|PF2|，则e的最大值为
③△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a；
其中正确命题的序号是______．
正确答案
①③
解析
解：双曲线的渐近线为y=±
∴准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为2×
∵|PF1|-|PF2|=2a=（e-1）|PF2|≥（e-1）（c-a），整理得（e-1）•（e-1）≤2，解得，e≤1+
设△PF1F2的内切圆的圆心为O，内切圆切PF1于A点，PF2于B点，F1F2于C点，
因为是内切圆，所以有OA⊥PF1，OB⊥PF2，OC⊥F1F2，且PA=PB，AF1=F1C，BF2=CF2．因为OC⊥F1F2，即x轴，只要求出C点的横坐标，就等于求出了O点的横坐标．
由双曲线的性质可知
∵|PF1|-|PF2|=2a
∵|PF1|=|PA|+|AF1|，|PF2|=|PB|+|BF2|，
∴|PF1|-|PF2|=（|PA|+|AF1|）-（|PB|+|BF2|）=|CF1|-|CF2|=2a，
又∵|CF1|+|CF2|=2c，联立可得CF2=c-a，∵F2（c，0），
∴C（a，0）．
∴O点横坐标就为a，故③正确．
故答案为①③
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