- 直线与双曲线的位置关系
- 共211题
设F1，F2是双曲线
A2
B2
C4
D8
正确答案
解析
解：由已知
即
得
故选A．
已知双曲线C：
（1）求双曲线C的方程；
（2）设经过焦点F2的直线l的一个法向量为（m，1），当直线l与双曲线C的右支相交于A，B不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3（x-1）2-y2=3上．
（3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，问是否存在实数m，使得∠AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由．
正确答案
解：（1）c=2c2=a2+b2∴4=a2+3a2∴a2=1，b2=3，∴双曲线为
（2）l：m（x-2）+y=0由
由△＞0得4m4+（3-m2）（4m2+3）＞012m2+9-3m2＞0即m2+1＞0恒成立
∴m2＞3∴
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
∴
∵
∴M在曲线3（x-1）2-y2=3上．
（3）A（x1，y1），B（x2，y2），设存在实数m，使∠AOB为锐角，
∴x1x2+y1y2＞0
因为y1y2=（-mx1+2m）（-mx2+2m）=m2x1x2-2m2（x1+x2）+4m2∴（1+m2）x1x2-2m2（x1+x2）+4m2＞0
∴（1+m2）（4m2+3）-8m4+4m2（m2-3）＞0即7m2+3-12m2＞0
∴
∴不存在
解析
解：（1）c=2c2=a2+b2∴4=a2+3a2∴a2=1，b2=3，∴双曲线为
（2）l：m（x-2）+y=0由
由△＞0得4m4+（3-m2）（4m2+3）＞012m2+9-3m2＞0即m2+1＞0恒成立
∴m2＞3∴
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
∴
∵
∴M在曲线3（x-1）2-y2=3上．
（3）A（x1，y1），B（x2，y2），设存在实数m，使∠AOB为锐角，
∴x1x2+y1y2＞0
因为y1y2=（-mx1+2m）（-mx2+2m）=m2x1x2-2m2（x1+x2）+4m2∴（1+m2）x1x2-2m2（x1+x2）+4m2＞0
∴（1+m2）（4m2+3）-8m4+4m2（m2-3）＞0即7m2+3-12m2＞0
∴
∴不存在
（2015•滕州市校级模拟）双曲线
A
B
C2
D
正确答案
解析
解：∵双曲线
∴
∴
∴b2=3a2
∴
∵a≥1
∴
∴
故选A．
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/s：相关各点均在同一平面上）
正确答案
以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（-1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x，y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=-x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|-|PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线
依题意得a=680，c=1020，∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402
故双曲线方程为
用y=-x代入上式，得
∵|PB|＞|PA|，
∴
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心
解析
以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（-1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x，y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=-x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|-|PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线
依题意得a=680，c=1020，∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402
故双曲线方程为
用y=-x代入上式，得
∵|PB|＞|PA|，
∴
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心
如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的像就是n，记作f（m）=n．则在下列说法中正确命题的个数为（ ）
①f（
正确答案
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