直线与双曲线的位置关系
共211题

· 直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系
共211题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：简答题

简答题

已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），双曲线-=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B．（如图）

（1）当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；

（2）当=λ时，求λ的最大值．

正确答案

（1）∵双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，

又＜1，∴∠POx=30°，即=tan30°=．

∴a=b．

又a2+b2=4，

∴a2=3，b2=1．

故椭圆C的方程为+y2=1．

（2）由已知l：y=（x-c），与y=x解得P（，），

由=λ得A（，）．

将A点坐标代入椭圆方程得（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2．

∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2．

∴λ2==-[（2-e2）+]+3≤3-2．

∴λ的最大值为-1．

题型：简答题

简答题

已知双曲线-=1(a＞0，b＞0)的右定点为A，右焦点为F，右准线与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又OA=2OB，OA•OC=2，过点F的直线与双曲线右交于点M、N，点P为点M关于x轴的对称点．

（1）求双曲线的方程；

（2）证明：B、P、N三点共线；

（3）求△BMN面积的最小值．

正确答案

（I）由题意得A（a，0），B（，0，又=2⇒=…①

由⇒C(，). ∴•=2⇒=2…②

联立①、②，得a=2，c=4

∴双曲线的方程为-=1．

（II）由（I），得点B（1，0），F（4，0），设直线l的方程为x=ty+4

由⇒（3t2-1）y2+24ty+36=0

∴=(x1-1，-y1)， =(x2-1 ，y2)

∵（x1-1）y2-（x2-1）（-y1）=x1y2+x2y1-（y1+y2）=（ty1+4）y2+（ty2+4）y1=（ty1+4）y2+（ty2+4）y2

-(y1+y2)=2ty1y2+3(y1+y2)=2t•+3•=0

∴向量与共线，∴B、P、N三点共线．

（III）∵直线l与双曲线右支相交于M、N两点

∴x1x2=（ty2+4）（ty2+4）=t2y1y2+4t（y1+y2）+16

=t2•+4t•+16＞0⇒＜0⇒t2＜

∴S△BMN=|BF|• |y1-y2|=

===

令u=1-3t2，u∈（0，1]

∴S△BMN=6•=6•=6•

由u∈（0，1]⇒∈[1，+∞)

∴当=1，即t=0时，△BMN面积最小值为18．

题型：简答题

简答题

已知双曲线x2-=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点．

（1）求直线AB的方程；

（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦．

正确答案

（1）设过P（1，2）点的直线AB方程为y-2=k（x-1），

代入双曲线方程得

（2-k2）x2+（2k2-4k）x-（k4-4k+6）=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则有x1+x2=-，

由已知=xp=1，

∴=2．解得k=1．

又k=1时，△=16＞0，从而直线AB方程为x-y+1=0．

（2）证明：按同样方法求得k=2，

而当k=2时，△＜0，

所以这样的直线不存在．

题型：填空题

填空题

已知双曲线x2-=1，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为______．

正确答案

设A（x1，y1）、B（x2，y2），

代入双曲线方程x2-=1相减得直线AB的斜率

kAB=

==6．

故答案为：6

题型：填空题

填空题

以双曲线-=1的右焦点为圆心，且被其渐近线截得的弦长为6的圆的方程为______．

正确答案

双曲线-=1的右焦点为F（2，0），一条渐近线为2x+y=0．

∴所求圆的圆心为（2，0）．

∵所求圆被渐近线2x+y=0截得的弦长为6，

∴圆心为（2，0）到渐近线2x+y=0的距离d==4，

圆半径r==5，

∴所求圆的方程是(x-2

)2+y2=25．

故答案为(x-2

)2+y2=25．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

百度题库 > 高考 > 数学 > 直线与双曲线的位置关系

扫码查看完整答案与解析