- 直线与双曲线的位置关系
- 共211题
双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围是______.
正确答案
(1,3]
解析
解:∵|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a,
而双曲线右支上到右焦点距离最近的点为右顶点,
∴有c-a≤2a,
∴1<e≤3,
故答案为(1,3].
已知与向量v=(1,0)平行的直线l与双曲线相交于A、B两点,则|AB|的最小值为( )
正确答案
解析
解:由题意可设直线l的方程为y=k,即表示平行于x轴的直线,
画出双曲线,由图可知,即当k=0时,|AB|有最小值2a=4,
故选C.
设双曲线=1(a>0,b>0)的右顶点为A,P为双曲线上的一个动点(不是顶点),从点A引双曲线的两条渐近线的平行线,与直线OP分别交于Q,R两点,其中O为坐标原点,则|OP|2与|OQ|•|OR|的大小关系为( )
正确答案
解析
解:取特殊点P(c,),
则直线OP的方程为y=x,
又直线AQ的方程为y=(x-a),
直线AR的方程为y=-(x-a),
解得Q,R的坐标为(,
),(
,
),
易得|OP|2=|OQ|•|OR|.
故选C
已知双曲线的顶点在x轴上,两个顶点之间的距离为8,离心率
(1)求双曲线的标准方程;
(2)求双曲线的焦点到其渐近线的距离.
正确答案
解:(1)由题意:,
所以,
所以双曲线方程为:;
(2)双曲线的焦点坐标为(5,0),渐近线方程为y=x,即3x-4y=0,
所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为=3.
解析
解:(1)由题意:,
所以,
所以双曲线方程为:;
(2)双曲线的焦点坐标为(5,0),渐近线方程为y=x,即3x-4y=0,
所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为=3.
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),左顶点为.
(1)求双曲线C的方程
(2)若直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线过点A(0,-1),求实数m的取值范围.
正确答案
解:(I)设双曲线方程为
由已知得
故双曲线C的方程为.
(II)联立
整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点,
∴
可得m2>3k2-1.①
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为B(x0,y0).
整理得3k2=4m+1.②
将②代入①,得m2-4m>0,∴m<0或m>4.
又3k2=4m+1>0(k≠0),即m>-.
∴m的取值范围是(-,0)∪(4,+∞).
解析
解:(I)设双曲线方程为
由已知得
故双曲线C的方程为.
(II)联立
整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点,
∴
可得m2>3k2-1.①
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为B(x0,y0).
整理得3k2=4m+1.②
将②代入①,得m2-4m>0,∴m<0或m>4.
又3k2=4m+1>0(k≠0),即m>-.
∴m的取值范围是(-,0)∪(4,+∞).
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