直线与双曲线的位置关系
共211题

· 直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系
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题型：填空题

填空题

双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是______．

正确答案

（1，3]

解析

解：∵|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a，

而双曲线右支上到右焦点距离最近的点为右顶点，

∴有c-a≤2a，

∴1＜e≤3，

故答案为（1，3]．

题型：单选题

单选题

已知与向量v=（1，0）平行的直线l与双曲线相交于A、B两点，则|AB|的最小值为（　　）

正确答案

解析

解：由题意可设直线l的方程为y=k，即表示平行于x轴的直线，

画出双曲线，由图可知，即当k=0时，|AB|有最小值2a=4，

故选C．

题型：单选题

单选题

设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，P为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q，R两点，其中O为坐标原点，则|OP|2与|OQ|•|OR|的大小关系为（　　）

A|OP|2＜|OQ|•|OR|

B|OP|2＞|OQ|•|OR|

C|OP|2=|OQ|•|OR|

D不确定

正确答案

解析

解：取特殊点P（c，），

则直线OP的方程为y=x，

又直线AQ的方程为y=（x-a），

直线AR的方程为y=-（x-a），

解得Q，R的坐标为（，），（，），

易得|OP|2=|OQ|•|OR|．

故选C

题型：简答题

简答题

已知双曲线的顶点在x轴上，两个顶点之间的距离为8，离心率

（1）求双曲线的标准方程；

（2）求双曲线的焦点到其渐近线的距离．

正确答案

解：（1）由题意：，

所以，

所以双曲线方程为：；

（2）双曲线的焦点坐标为（5，0），渐近线方程为y=x，即3x-4y=0，

所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为=3．

解析

解：（1）由题意：，

所以，

所以双曲线方程为：；

（2）双曲线的焦点坐标为（5，0），渐近线方程为y=x，即3x-4y=0，

所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为=3．

题型：简答题

简答题

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），左顶点为．

（1）求双曲线C的方程

（2）若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，-1），求实数m的取值范围．

正确答案

解：（I）设双曲线方程为

由已知得

故双曲线C的方程为．

（II）联立

整理得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0．

∵直线与双曲线有两个不同的交点，

∴

可得m2＞3k2-1．①

设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为B（x0，y0）．

整理得3k2=4m+1．②

将②代入①，得m2-4m＞0，∴m＜0或m＞4．

又3k2=4m+1＞0（k≠0），即m＞-．

∴m的取值范围是（-，0）∪（4，+∞）．

解析

解：（I）设双曲线方程为

由已知得

故双曲线C的方程为．

（II）联立

整理得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0．

∵直线与双曲线有两个不同的交点，

∴

可得m2＞3k2-1．①

设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为B（x0，y0）．

整理得3k2=4m+1．②

将②代入①，得m2-4m＞0，∴m＜0或m＞4．

又3k2=4m+1＞0（k≠0），即m＞-．

∴m的取值范围是（-，0）∪（4，+∞）．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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