直线与双曲线的位置关系
共211题

· 直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系
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题型：简答题

简答题

已知双曲线的顶点在x轴上，两个顶点之间的距离为8，离心率e=

（1）求双曲线的标准方程；

（2）求双曲线的焦点到其渐近线的距离．

正确答案

（1）由题意：2a=8，e==，

所以a=4，c=5，b==3，

所以双曲线方程为：-=1；

（2）双曲线的焦点坐标为（5，0），渐近线方程为y=x，即3x-4y=0，

所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为=3．

题型：简答题

简答题

椭圆焦点在x轴，离心率为，直线y=1-x与椭圆交于M，N两点，满足OM⊥ON，求椭圆方程．

正确答案

设椭圆方程+=1（a＞b＞0），

∵e=，∴a2=4b2，即a=2b．

∴椭圆方程为+=1．

把直线方程代入化简得5x2-8x+4-4b2=0．

设M（x1，y1）、N（x2，y2），则

x1+x2=，x1x2=（4-4b2）．

∴y1y2=（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+x1x2=（1-4b2）．

由于OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0．

解得b2=，a2=．

∴椭圆方程为x2+y2=1．

题型：简答题

简答题

一条斜率为1的直线ℓ与离心率为的双曲线-=1(a＞0，b＞0)交于P、Q两点，直线ℓ与y轴交于点R，且•=-3，=4，求直线与双曲线方程．

正确答案

∵双曲线-=1(a＞0，b＞0)的离心率为，b2=2a2，

∴双曲线方程即：-=1，设直线ℓ方程：y=x+k，点R（0，k）

代入双曲线方程得：x2-2kx-k2-2a2=0，设P（x1，y1）、Q（x2，y2），

则x1+x2=2k，则x1•x2=-k2-2a2，

∵•=-3，∴（x1，y1）•（x2，y2）=x1•x2+（x1+k）（x2+k）=2x1•x2+k（x1+x2）+k2

=2（-k2-2a2）+k•2k+k2=k2-4a2=-3 ①，

∵=4，

∴（x2-x1，x2-x1）=4（x2-0，x2+k-k），∴x1=-3x2②

把②代入根与系数的关系得：x1=3k，x2=-k，k2=a2，

再由①得：a=1，k=±1，

∴直线ℓ的方程为x-y-1=0 或x-y+1=0，

双曲线的方程：x2-=1．

题型：简答题

简答题

已知点A(-，0)和B(，0)，动点C与A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求线段DE的长．

正确答案

设点C（x，y），则|CA|-|CB|=±2．

根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线-=1．

由2a=2，2c=|AB|=2，得a2=1，b2=2．

故点C的轨迹方程是x2-=1．

由，得　x2+4x-6=0．

∵△＞0，∴直线与双曲线有两个交点．

设D（x1，y1）、E（x2，y2），则　x1+x2=-4，x1•x2=-6．

故|DE|===4．

题型：简答题

简答题

过双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1（-2，0）、右焦点F2（2，0）分别作x轴的垂线，交双曲线的两渐近线于A、B、C、D四点，且四边形ABCD的面积为16．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）设P是双曲线C上一动点，以P为圆心，PF2为半径的圆交射线PF1于M，求点M的轨迹方程．

正确答案

（1）由，解得y=，

由双曲线及其渐近线的对称性知四边形ABCD为矩形，故四边形ABCD的面积为4×=16

所以b=a，结合c=2且c2=a2+b2得：a=1，b=，

所以双曲线C的标准方程为x2-=1；

（2）P是双曲线C上一动点，故|PF1-PF2|=2，

又M点在射线PF1上，且PM=PF2，

故F1M=|PF1-PM|=|PF1-PF2|=2，

所以点M的轨迹是在以F1为圆心，半径为2的圆，

其轨迹方程为：（x+2）2+y2=4．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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