直线与双曲线的位置关系
共211题

· 直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系
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题型：填空题

填空题

P是双曲线-=1的右支上一点，M．N分别是圆（x+10）2+y2=4和（x-10）2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为______．

正确答案

双曲线-=1中，

∵a=6，b=8，c=10，

∴F1（-10，0），F2（10，0），

∵|PF1|-|PF2|=2a=12，

∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|+|NF2|，

∴-|PN|≤-|PF2|+|NF2|，

所以，|PM|-|PN|≤|PF1|+|MF1|-|PF2|+|NF2|

=12+1+2

=15．

故答案为：15．

题型：简答题

简答题

已知A、B是双曲线C：-=1的左、右顶点，P是坐标平面上异于A、B的一点，设直线PA、PB的斜率分别为k1，k2．

求证：k1k2=是P点在双曲线C上的充分必要条件．

正确答案

证明：设P（x0，y0），易知A（-2，0），B（2，0）

（1）充分性：由k1k2=知：×=，

所以3x02-4y02=12，即-=1，

故点P在双曲线-=1上；

（2）必要性：因为点P在双曲线C上，

所以-=1，故y02=(x02-4)

由已知x0≠±2，故k1k2=×==

综上（1）（2）知k1k2=是P点在双曲线C上的充分必要条件．

题型：填空题

填空题

已知曲线-=1与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，且•=0（O为原点），则-的值为______．

正确答案

设p（x1，y1）；Q（x2，y2）

∵•=0

∴kop*koq=-1即；y1y2=-x1x2联立两方程：（b-a）x2+2ax-a-ab=0

x1+x2=

x1x2=

y1y2=1-（x1+x2）+x1x2=-x1x2即2ab=b-a

∴1/a-1/b=2

-==2

故答案为2

题型：填空题

填空题

已知P是双曲线-=1(a＞0，b＞0)的右支上一点，A1，A2分别为双曲线的左、右顶点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，有下列命题：

①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为；

②若|PF1|=e|PF2|，则e的最大值为；

③△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为a；

其中正确命题的序号是______．

正确答案

双曲线的渐进线为y=±x，准线方程为x=，代入渐进线方程得y=±=

∴准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为2×=故①正确．

∵|PF1|-|PF2|=2a=（e-1）|PF2|≥（e-1）（c-a），整理得（e-1）•（e-1）≤2，解得，e≤1+所以e的最大值是1+②不正确．

设△PF1F2的内切圆的圆心为O，内切圆切PF1于A点，PF2于B点，F1F2于C点，

因为是内切圆，所以有OA⊥PF1，OB⊥PF2，OC⊥F1F2，且PA=PB，AF1=F1C，BF2=CF2．因为OC⊥F1F2，即x轴，只要求出C点的横坐标，就等于求出了O点的横坐标．

由双曲线的性质可知

∵|PF1|-|PF2|=2a

∵|PF1|=|PA|+|AF1|，|PF2|=|PB|+|BF2|，

∴|PF1|-|PF2|=（|PA|+|AF1|）-（|PB|+|BF2|）=|CF1|-|CF2|=2a，

又∵|CF1|+|CF2|=2c，联立可得CF2=c-a，∵F2（c，0），

∴C（a，0）．

∴O点横坐标就为a，故③正确．

故答案为①③

题型：填空题

填空题

双曲线-=1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为______．

正确答案

设点P（x，y），

∵F1（-5，0）、F2（5，0），PF1⊥PF2，∴•=-1，

∴x2+y2=25 ①，

又-=1，

∴-=1，

∴y2=，

∴|y|=，

∴P到x轴的距离是．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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