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题型:填空题
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填空题

已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A,△OAF的面积为(O为原点),则两条渐近线的夹角为______.

正确答案

设A点是斜率为正的渐近线与右准线的交点

双曲线斜率为正的渐近线方程为:y=x

而右准线为:x=

于是,渐近线与右准线的交点A,其横坐标就是,纵坐标可求出是:

y=

△OAF的面积若是以OF为底边计算的话,其上的高就是A点的纵坐标的绝对值,即:

∴S△OAF=|OF|•==

由题意有:=

∴a=b

∴双曲线两条渐近线就是:y=±x

∴两条渐近线相互垂直

∴它们的夹角很容易得出是90°

故答案为90°

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题型:填空题
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填空题

设F1和F2是双曲线 -y2=1 的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是______.

正确答案

设|PF1|=x,|PF2|=y,(x>y)

根据双曲线性质可知x-y=4,

∵∠F1PF2=90°,

∴x2+y2=20

∴2xy=x2+y2-(x-y)2=4

∴xy=2

∴△F1PF2的面积为 xy=1

故答案为:1.

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题型:简答题
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简答题

已知双曲线的方程是16x2-9y2=144.

(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;

(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|•|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.

正确答案

(1)由16x2-9y2=144得-=1,

∴a=3,b=4,c=5.焦点坐标F1(-5,0),F2(5,0),离心率e=,渐近线方程为y=±x.

(2)||PF1|-|PF2||=6,

cos∠F1PF2=

===0.

∴∠F1PF2=90°.

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题型:简答题
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简答题

已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,两条准线间的距离为1,F1,F2是双曲线的左、右焦点.

(Ⅰ)求双曲线的方程;

(Ⅱ)直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M,N,点P为双曲线上异于M,N的一点,且直线PM,PN的斜率均存在,求kPM•kPN的值.

正确答案

(Ⅰ)依题意,双曲线焦点在x轴上,

有:

解得a2=1,b2=3.

∴双曲线方程为x2-=1.

(Ⅱ)设M(x0,y0),由双曲线的对称性,可得N(-x0,-y0).

设P(xP,yP),

则kPM•kPN==

又x02-=1,

∴y02=3x02-3.

同理yP2=3xP2-3,

∴kPM•kPN==3.

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题型:简答题
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简答题

双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知||、||、||成等差数列,且同向.

(Ⅰ)求双曲线的离心率;

(Ⅱ)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.

正确答案

(1)设双曲线方程为-=1,c2=a2+b2同向,

∴渐近线的倾斜角为(0,),

∴渐近线斜率为:k1=<1∴==e2-1<1,∴1<e2<2

∴|AB|2=(|OB|-|OA|)(|OB|+|OA|)=(|OB|-|OA|)2|AB|,

∴|AB|=2(|OB|-|OA|)∴

∴|OA|=|AB|∴|OA|2=|AB|2

可得:=,而在直角三角形OAB中,

注意到三角形OAF也为直角三角形,即tan∠AOB=

而由对称性可知:OA的斜率为k=tan∠AOB

=,∴2k2+3k-2=0,∴k=(k=-2舍去);

===,∴e2=

∴e=

(2)由第(1)知,a=2b,可设双曲线方程为-=1,c=b,

∴AB的直线方程为 y=-2(x-b),代入双曲线方程得:15x2-32bx+84b2=0,

∴x1+x2=,x1•x2=

4=,16=-

∴b2=9,所求双曲线方程为:-=1.

百度题库 > 高考 > 数学 > 直线与双曲线的位置关系

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