- 直线与双曲线的位置关系
- 共211题
已知双曲线-
=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A,△OAF的面积为
(O为原点),则两条渐近线的夹角为______.
正确答案
设A点是斜率为正的渐近线与右准线的交点
双曲线斜率为正的渐近线方程为:y=x
而右准线为:x=
于是,渐近线与右准线的交点A,其横坐标就是,纵坐标可求出是:
y=
△OAF的面积若是以OF为底边计算的话,其上的高就是A点的纵坐标的绝对值,即:
∴S△OAF=|OF|••
=
=
由题意有:=
∴a=b
∴双曲线两条渐近线就是:y=±x
∴两条渐近线相互垂直
∴它们的夹角很容易得出是90°
故答案为90°
设F1和F2是双曲线 -y2=1 的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是______.
正确答案
设|PF1|=x,|PF2|=y,(x>y)
根据双曲线性质可知x-y=4,
∵∠F1PF2=90°,
∴x2+y2=20
∴2xy=x2+y2-(x-y)2=4
∴xy=2
∴△F1PF2的面积为 xy=1
故答案为:1.
已知双曲线的方程是16x2-9y2=144.
(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|•|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.
正确答案
(1)由16x2-9y2=144得-
=1,
∴a=3,b=4,c=5.焦点坐标F1(-5,0),F2(5,0),离心率e=,渐近线方程为y=±
x.
(2)||PF1|-|PF2||=6,
cos∠F1PF2=
==
=0.
∴∠F1PF2=90°.
已知双曲线-
=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=
x,两条准线间的距离为1,F1,F2是双曲线的左、右焦点.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M,N,点P为双曲线上异于M,N的一点,且直线PM,PN的斜率均存在,求kPM•kPN的值.
正确答案
(Ⅰ)依题意,双曲线焦点在x轴上,
有:
解得a2=1,b2=3.
∴双曲线方程为x2-=1.
(Ⅱ)设M(x0,y0),由双曲线的对称性,可得N(-x0,-y0).
设P(xP,yP),
则kPM•kPN=•
=
,
又x02-=1,
∴y02=3x02-3.
同理yP2=3xP2-3,
∴kPM•kPN==3.
双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知||、|
|、|
|成等差数列,且
与
同向.
(Ⅰ)求双曲线的离心率;
(Ⅱ)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.
正确答案
(1)设双曲线方程为-
=1,c2=a2+b2由
,
同向,
∴渐近线的倾斜角为(0,),
∴渐近线斜率为:k1=<1∴
=
=e2-1<1,∴1<e2<2
∴|AB|2=(|OB|-|OA|)(|OB|+|OA|)=(|OB|-|OA|)2|AB|,
∴|AB|=2(|OB|-|OA|)∴
∴|OA|=|AB|∴|OA|2=
|AB|2
可得:=
,而在直角三角形OAB中,
注意到三角形OAF也为直角三角形,即tan∠AOB=
而由对称性可知:OA的斜率为k=tan∠AOB
∴=
,∴2k2+3k-2=0,∴k=
(k=-2舍去);
∴=
∴
=
=
,∴e2=
∴e=
(2)由第(1)知,a=2b,可设双曲线方程为-
=1,c=
b,
∴AB的直线方程为 y=-2(x-b),代入双曲线方程得:15x2-32
bx+84b2=0,
∴x1+x2=,x1•x2=
,
4=,16=
-
,
∴b2=9,所求双曲线方程为:-
=1.
扫码查看完整答案与解析