- 空间几何体
- 共15406题
已知长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，且a，
正确答案
2
解析
解：∵a，
∴b=a+c，
∵对角线长为
∴a2+b2+c2=6，
∴a2+c2=6-b2，
∵2（a2+c2）≥（a+c）2，
∴2（6-b2）≥b2，
∴b2≤4，
∴b≤2，
∴b的最大值为2．
故答案为：2．
已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q是面对角线A1C1上的两个不同动点．给出以下判断：
①存在P，Q两点，使BP⊥DQ；
②存在P，Q两点，使BP，DQ与直线B1C1都成45°的角；
③若|PQ|=1，则四面体BDPQ的体积一定是定值；
④若|PQ|=1，则四面体BDPQ的表面积是定值．
⑤若|PQ|=1，则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值．
其中真命题是______．（将正确命题的序号全填上）
正确答案
①③⑤
解析
根据题意，OP=OQ时，BP，DQ与直线B1C1所成角相等，但是角大于45°，故②错误；
设平面A1B1C1D1两条对角线交点为O，则易得PQ⊥平面OBD，
平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，高之和为PQ的棱锥，故四面体BDPQ的体积一定是定值，故③正确；
若|PQ|=1，则四面体BDPQ的表面积不是定值；
四面体BDPQ在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定值，四面体BDPQ在四个侧面上的投影，均为上底为
故答案为：①③⑤．
P是长方体AC1上底面A1C1内任一点，设AP与三条棱AA1、AB、AD所成的角为α、β、γ，则cos2α+cos2β+cos2γ的值是（ ）
A1
B2
C
D不确定正
正确答案
解析
解：以AP为一条对角线截得小长方体AP，
由长方体的对角线长定理可得cos2α+cos2β+cos2γ=1．
故选A
以正方体八个顶点中的n个点作为顶点，组成新的空间几何体．按照以下要求分别画出图形：
（1）有一个顶点处三个面都是直角的直角锥体；
（2）各面都是等边三角形的锥体；
（3）各面都是直角三角形的锥体．
正确答案
解：以正方体八个顶点中的n个点作为顶点，组成新的空间几何体．
（1）有一个顶点处三个面都是直角的直角锥体，如图1三棱锥A-BCD，定点C处△ABC、△ADC、△BCD都是直角三角形的直角棱锥；
图1
（2）各面都是等边三角形的锥体，如图2三棱锥A-BDE，面ABD、面ABE、面ADE、面BDE都是等边三角形；
图2
（3）各面都是直角三角形的锥体，如图3三棱锥B-CEF，△BCF、△BEF、△BCE、△CEF都是直角三角形；
图3
解析
解：以正方体八个顶点中的n个点作为顶点，组成新的空间几何体．
（1）有一个顶点处三个面都是直角的直角锥体，如图1三棱锥A-BCD，定点C处△ABC、△ADC、△BCD都是直角三角形的直角棱锥；
图1
（2）各面都是等边三角形的锥体，如图2三棱锥A-BDE，面ABD、面ABE、面ADE、面BDE都是等边三角形；
图2
（3）各面都是直角三角形的锥体，如图3三棱锥B-CEF，△BCF、△BEF、△BCE、△CEF都是直角三角形；
图3
下列说法中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，∵棱柱的每个侧面都是平行四边形，所以A错误；
对于B，正方体和长方体满足棱柱的特征，都是特殊的四棱柱，所以B正确；
对于C，∵棱柱的侧棱都相等，但是侧面与底面相交的棱不一定与侧棱相等，所以C错误；
对于D，∵球的表面不能展开为平面图形，所以D错误；
故选B．
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，EF∥B1C1，用平面BCFE把这个长方体分成了（1）、（2）两部分后，这两部分几何体的形状是（ ）
正确答案
解析
解：（1）中，有两个平行的平面BB1E与平面CC1F，其余各面都是四边形，并且每相邻两
个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以（1）是三棱柱；
（2）中，有两个平行的平面ABEA1与平面DCFD1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公
共边互相平行，符合棱柱的定义，所以（2）是四棱柱．
故选C
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=
正确答案
2
解析
解：如图所示，
延长CN交BA于点E，连接B1E．
∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，CM=
∴
∵MN∥平面AA1B1B，∴MN∥B1E．
∴
∴
∴
故答案为：
如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么正方体的8个顶点构成的四面体是“三节棍体”的概率是______．
正确答案
解析
解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
从正方体中任选四个顶点的选法是
其中有4点共面的有四点共面的取法有 6+6=12 （种），
∴4点恰能构成三棱锥的有70-12=58（种），
四个面都是直角三角形的三棱锥有4×6=24个，
∴所求的概率是P=
故答案为：
一个圆柱的底面面积是16，侧面展开图是正方形，则该圆柱的侧面积是______．
正确答案
64π
解析
设圆柱的底面半径为r，高为l，
∵圆柱的底面面积是16，∴πr2=16，
∴r=
∴l=2πr=2π×
∴圆柱的侧面积是l2=
故答案为：64π．
平行六面体ABCD-A1B1C1D1的六个面都是菱形，则点D1在面ACB1上的射影是△ACB1 的（ ）
正确答案
解析
则B1M是B1D1在面ACB1中的射影
∵该平行六面体各个表面都是菱形
∴AC∥A1C1，B1D1⊥A1C1
∴B1D1⊥AC
∴由三垂线定理知B1M⊥AC
同理可证AM⊥B1C，CM⊥AB1
∴点M是△ACB1的垂心
故选C
正确答案
解析
解：取DD1的中点E，连接ME，EC，CB1，B1M
由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且
∴梯形的高为
∴梯形的面积为
故答案为
棱长为2的正四面体ABCD在空间直角坐标系中移动，但保持点A、B分别在x轴、y轴上移动，则棱CD的中点E到坐标原点O的最远距离为（ ）
A2
B2
C
D
正确答案
解析
解：如图，
设AB中点为M，则原点到直线CD的最近距离d等于点M到直线CD的距离加上球M的半径，
∵EB=
则所求距离的最大值为：d=
故选：D．
（2015秋•九江校级月考）ABCD-A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是（ ）
正确答案
解析
解：如图，
由ABCD-A1B1C1D1为正方体，可得BD∥B1D1，由线面平行的判定知，A正确；
由线面垂直的判断可知BD⊥面ACC1，由此可得AC1⊥BD，B正确；
由线面垂直的判定可得AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，
则由线面垂直的判定定理可得AC1⊥平面CB1D1，说明C正确；
由ABCD-A1B1C1D1为正方体，可得四边形ABC1D1为长方形，若AC1⊥BD1，
可得AB=BC1，矛盾，∴D错误．
故选：D．
下列命题正确的是（ ）
正确答案
解析
解：对于A，它的每相邻两个四边形的公共边不一定互相平行，故错；
对于B，也是它的每相邻两个四边形的公共边不一定互相平行，故错；
对于C，它符合棱柱的定义，故对；
对于D，它的截面与底面不一定互相平行，故错；
故选C．
用一个与正方体的各面都不平行的平面去截正方体，截得的截面是四边形的图形可能是下列选项中的______（把所有符合条件的图形序号填入）．①矩形②直角梯形③菱形④正方形．
正确答案
①③④
解析
正方形就是菱形；④正方形，都能作出；
可以画出梯形但不是②直角梯形；
故答案为：①③④
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