热门试卷

解：设长方体共一顶点的三条棱长分别为a，b，c，

由题意可得 ，

∴x2=41-2a2，

∵0＜a2＜42，

∴9＜x2＜41，

∴．

故答案为：．

解：设AA1=1，AB=a，AD=b，

则2（a+b）×1=6，∴a+b=3

又对角线AC12=a2+b2+c2=1+a2+b2+≥1+=1+=，

则长方体对角线长的最小值为，

故答案为：．

解：设AB=a，AA1=b，由AA1＞AB得b＞a，

在RT△AB1D中，由三角形面积相等得，

点A到直线B1D的距离d1==，

连接A1D，过A作AE⊥A1D，

由CD⊥平面ADD1A1得，CD⊥AE，又AE⊥A1B，则AE⊥平面DCB1A1，

所以AE为点A到平面DCB1A1的距离，

则d2=AE==，

所以==，上式分子分母同除以b2得，=，

设t=，则0＜t＜1，代入上式可得=，

设y====≥=1，

当且仅当时取等号，此时t=0，

因为0＜t＜1，函数y在（0，1）上是增函数，当t=1时，y==，

所以1＜y＜，∈，

故答案为：．

解：如图，将其还原成一个正方体，

易得：AB与CD所在直线成60°角，CD与EF所在直线成60°角，

则①②错．

由于△ABF为正三角形，所以∠ABF=60°，

而MN∥BF，所以AB与MN成60°角，③对；

因MN与EF所在直线异面，④对．

故答案为：③④．

解：由题意得，三棱锥中有四条棱长为4，两条棱长为a，

有以下两种情况：如图，

①底面是边长为4的正三角形，三条侧棱长为4，a，a，此时a可以取最大值，

取BC的中点为D，连接AD、PD，则AD⊥BC，PD⊥BC

所以AD=，PD=，

则＜4+，两边平方得，

解得2＜a＜，

②构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为4，如图所示，

此时a＜2，解得0＜a＜，

综上可得，a的取值范围是，

故答案为：．

解：设AC∩BD=O，连B1O，

∵AC⊥BD，B1B⊥面ABCD，∴B1O⊥AC，

则B1O的长就是所求点B1到直线AC的距离．

在Rt△BB1O中，BB1=2，BO=，∴B1O=．

故答案为：；

解：根据题意：点E到三个侧面的垂线与侧棱AB，AC，AD围成一个棱长为3、4、5的长方体，

则其外接球的直径即为AE且为长方体的体对角线．

∴2r==5

∴r=

由球的表面积公式得：S=4πr2=50π

故答案为：50π．

解：①错，必须是两个相邻的侧面；

②正确；因两个过相对侧棱的截面都垂直于底面可得到侧棱垂直于底面；

③错，反例，可以是斜四棱柱；

④正确，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形．

故答案为：②④．

解：对于①，在正方体中任意选择四个不共面的顶点，它们可能是正四面体的四个顶点，

正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCD-A1B1C1D1中的四面体A-CB1D1，∴①正确；

对于②，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥不一定是正三棱锥，

如底面△ABC为等边三角形，且AB=VB=VC=BC=AC，

则△VBC为等边三角形，△VAB和△VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；∴②错误；

对于③，一个四棱柱中有两个侧面垂直于底面，该四棱柱不一定为直四棱柱，

必须是相邻的两个侧面才是直四棱柱，∴③错误；

对于④，一个棱锥如果有两条侧棱和底面垂直，则这两条侧棱互相平行，∴④错误；

对于⑤，所有侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体，如底面是菱形时，此时的四棱柱不是正方体，∴⑤错误．

综上，正确的命题是①．

故答案为：①．