- 空间几何体
- 共15406题
A
B
C
D
正确答案
解析
则由图得，△ACD1内切圆的半径是
则所求的截面圆的面积是π×
故选A．
空间一条直线l1与一个正四棱柱的各个面所成的角都为α，则另一条直线l2与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为β，则下列说法正确的是______．
①此四棱柱必为正方体；
②l1与四棱柱的各边所成的角也相等；
③若四棱柱为正四棱柱，l1与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为β，则sin2α+sin2β=1．
正确答案
②③
解析
空间一条直线l1与此正四棱柱的各个面所成的角都为α，直线l1可以是此正方体的体对角线BH，直线l1与这个正四棱柱的各条棱所成的角也相等，故②正确；
但是此正四棱柱未必为正方体，故①不正确；
在图中，∠HBE=α，∠HBA=β，
且sin2α+sin2β=
故答案为：②③．
一个圆锥的母线长为20cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为（ ）
A
B
C20cm
D10cm
正确答案
解析
在直角三角形中，
圆锥的高：h=20cos30°=20×
故选A．
（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；
（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；
（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离．
正确答案
所以∠A1AD为A1A与面ABC所成的角．
因为AA1⊥A1C，AA1=A1C，
所以∠A1AD=45°为所求．
（2）解：作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB．
所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．
又D是AC的中点，BC=2，AC=2
所以DE=1，AD=A1D=
故∠A1ED=60°为所求．
（3）解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，
则CH的长是C到平面A1ABB1的距离．
连接HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB．
又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED，
所以∠HBC=∠A1ED=60°
所以CH=BCsin60°=
解法二：连接A1B．
根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C-A1AB的高h．
由
即
所以
解析
所以∠A1AD为A1A与面ABC所成的角．
因为AA1⊥A1C，AA1=A1C，
所以∠A1AD=45°为所求．
（2）解：作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB．
所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．
又D是AC的中点，BC=2，AC=2
所以DE=1，AD=A1D=
故∠A1ED=60°为所求．
（3）解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，
则CH的长是C到平面A1ABB1的距离．
连接HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB．
又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED，
所以∠HBC=∠A1ED=60°
所以CH=BCsin60°=
解法二：连接A1B．
根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C-A1AB的高h．
由
即
所以
正确答案
证明：∵多面体ABCD-A1B1C1D1为长方体，
∴AB∥C1D1且AB=C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1=C1B．
同理AA1∥CC1且AA1=CC1，∴四边形ACC1A1为平行四边形，∴AC=A1C1．
连结A1B，CD1，同理可证A1B=CD1．
∴△D1AC≌△A1C1B．
∴∠D1AC=∠A1C1B．
解析
证明：∵多面体ABCD-A1B1C1D1为长方体，
∴AB∥C1D1且AB=C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1=C1B．
同理AA1∥CC1且AA1=CC1，∴四边形ACC1A1为平行四边形，∴AC=A1C1．
连结A1B，CD1，同理可证A1B=CD1．
∴△D1AC≌△A1C1B．
∴∠D1AC=∠A1C1B．
在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是______．
正确答案
（
解析
则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC．
而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，
液面的形状都不可能是三角形．
所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD的体积
并且＜正方体ABCD-EFGH体积-三棱柱B-AFC体积1-
答案为（
表面积为16π的球内切于正三棱柱ABC-A1B1C1的各个面，则该项棱柱的体积为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：设球半径为R，
由题意，正三棱柱的高是直径为2R，正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径是R，
所以正三角形的边长是2 
由于表面积为16π的球，∴R=2．
则该项棱柱的体积为：
故选A．
一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是（ ）
正确答案
解析
解：以为正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为 r，
正六棱锥的高为h，正六棱锥的侧棱长为 l，由正六棱锥的高 h、底面的半径 r、侧棱长l构成直角三角形得，
h2+r2=l2，故侧棱长 l和底面正六边形的边长 r不可能相等，
故选D．
在正三棱锥P-ABC中，PA=
正确答案
解析
解：解答：
∵正三棱锥P-ABC中，∠APB=20°
则图中∠APA1=60°，
AA1为所求，
又∵PA=PA1，
故△PAA1为等边三角形
∵PA=
∴AA1=
故答案为：
一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：
（1）三角形；（2）菱形；（3）矩形；（4）正方形；（5）正六边形．
其中正确的结论是______．（把你认为正确的序号都填上）
正确答案
（2）（3）（4）（5）
解析
解：∵正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．
于是过正方体的一条棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，如图（1）；
过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，如图（2）；
过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，如图（3）；
正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，如图（4）．
故答案为：（2）（3）（4）（5）
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为______．
正确答案
6
解析
解：∵正方体的棱长为1
∴AC1=
∵|PA|+|PC1|=2，
∴点P是以2c=
∵P在正方体的棱上，
∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，
结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B1C1，C1D1，CC1，AA1，AB，AD上各有一点满足条件．
故答案为：6．
A
B
C
D
正确答案
解析
故△PBD的面积为f（x）=
在三角形PAO中，PO=
∴f（x）=
画出其图象，如图所示，
对照选项，A正确．
故选A．
在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F
①四边形BFD′E一定是平行四边形
②四边形BFD′E有可能是正方形
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形
④四边形BFD′E有可能垂直于平面BB′D′D
以上结论正确的为______（写出所有正确结论的编号）
正确答案
①③④
解析
解：解：如图：
①由平面BCB1C1∥平面ADA1D1，并且B、E、F、D1四点共面，
∴ED1∥BF，同理可证，FD1∥EB，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故①正确；
②若BFD1E是正方形，有ED1⊥BE，这个与A1D1⊥BE矛盾，故②错误；
③由图得，BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，故③正确；
④当点E和F分别是对应边的中点时，平面BFD1E⊥平面BB1D1，故④正确．
故答案为：①③④．
正确答案
解析
解：∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，
∴AC⊥BE．故A正确．
∵EF垂直于直线AB1，AD1，
∴A1C⊥平面AEF．故B正确．
C中由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值．
又点A到平面BEF的距离为 
当点E在D1处，F为D1B1的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠FBC1，
当E在上底面的中心时，F在C1的位置，
异面直线AE，BF所成的角是∠EAA1
显然两个角不相等，D不正确．
故选D．
正三棱柱的内切圆柱和外接圆柱的体积比为______．
（注：以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱叫做它的内切圆柱，以正棱柱的两个底面的外接圆面为底面的圆柱叫做它的外接圆柱．）
正确答案
1：4
解析
解：正三棱柱的内切圆柱和外接圆柱的体积比，就是正三棱柱的底面内切、外接圆的半径之比的平方；因为正三角形的内切圆的半径是高的
所以正三棱柱的内切圆柱和外接圆柱的体积比为：1：4．
故答案为：1：4
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